¿Cómo mostrar x e y son iguales?

Question

Estoy trabajando en una prueba para demostrar que f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f$ define como $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 7$ es inyectiva. Aquí está el esquema general de la prueba de como lo tengo ahora:

Prueba: Para que una función sea inyectiva, siempre que $x,y \in A$$x\neq y$,$f(x) \neq f(y)$, es decir, donde $A$, $B$ son conjuntos finitos, cada dos elementos de $A$ debe tener distintas imágenes en $B$, lo que también implica que debe haber al menos tantos elementos en $B$ $A$ de manera tal que la cardinalidad de $A$ es menor o igual que la cardinalidad de a $B$.

Vamos a probar el contra-positivo: Si $\exists$ $f(x) = f(y)$, a continuación, $x=y.$

Deje $x^3 - 6x^2 + 12x - 7 = y^3 - 6y^2 + 12y - 7$.

Luego por adición y algunos de álgebra, obtenemos $x(x^2 - 6x + 12) = y(y^2 - 6y + 12)$

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Esto se siente tonto para preguntar, pero ¿cómo puedo continuar para finalmente obtener el resultado que $x = y$?

Answer 1

Una función diferenciable con derivada positiva en todas partes es inyectiva. El derivado de $f$ es $f'(x)=3x^2-12x+12=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$. Esto es positivo para $x\ne2$. Para ver que el cero derivado en $x=2$ no destruye inyectabilidad, integrar para encontrar $f(x)=(x-2)^3+C$ (con $C=1$). Así $f$ es una versión cambiada de puesto de $x^3$, que es inyectiva.

Answer 2

% Toque $\rm\,\ 0 = f(x)\!-\!f(y) = (\color{#C00}{x\!-\!y})\,\left(\left(\color{blue}{y\!-\!2}\ +\dfrac{\color{#0A0}{x\!-\!2}}2\right)^2\! + 3\,\left(\dfrac{\color{#0A0}{x\!-\!2}}{2}\right)^2\right)\iff \begin{eqnarray}\rm \color{#C00}{x=y}\quad \ or\\\rm\ \color{#0A0}{x=2}\ \ and\ \ \color{blue}{y = 2}\end{eqnarray}$

Nota $\ $ este enfoque no requiere darse cuenta de que $\rm\:f(x) = (x-2)^3\!+1.\:$ algo, utilizamos sólo $\rm\:x\!-\!y\:|\:f(x)\!-f(y)\:$ (Teorema del Factor), y completamos el cuadrado en el cofactor cuadrático.

Answer 3

Tenga en cuenta que $w^3-6w^2+12w-8=(w-2)^3$. Así $w^3-6w^2+12w-7=(w-2)^3+1$.

Por eso queremos mostrar eso si $(x-2)^3+1=(y-2)^3+1$ y $x=y$.

Equivalente, queremos mostrar eso si $(x-2)^3=(y-2)^3$ y $x=y$. Esto es fácil, la función de cubo está aumentando.

Comentario: Podemos utilizar el Álgebra básica de campos ordenados para demostrar eso si $s^3=t^3$ y $s=t$. $s^3-t^3=(s-t)(s^2+st+t^2)$. Pero $ de $$2(s^2+st+t^2)=(s+t)^2+s^2+t^2,$ $s^2+st+t^2$ sólo puede ser $0$ cuando $s=t=s+t=0$.