Voy a dar una charla para los estudiantes de Doctorado seminario en mi universidad. La audiencia está compuesta principalmente por algebraicas topologists algebraicas de los geómetras y los analistas. He decidido que voy a hablar de la teoría de Hodge como tiene vínculos con todos estos campos, a partir de los conceptos básicos y subiendo a utilizar para mostrar que deRham cohomology en compacto de colectores es finito dimensionales. Si es posible, me gustaría dar otro interesante (y, si es posible, no es demasiado difícil) ejemplos de aplicaciones. ¿Alguno de ustedes conoce alguna?
Respuestas
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En primer lugar, recuerde que (parte de) la versión más general de la Hodge teorema: si $E_i$ son una secuencia de vectores haces en un compacto liso colector, y $0 \to \Gamma(E_0) \xrightarrow{d_0} \Gamma(E_1) \cdots \xrightarrow{d_n} \Gamma(E_n) \to 0$ es una elíptica complejo ($d^2 = 0$ y tomando símbolos da una secuencia exacta), entonces la homología de grupos de este complejo son finito-dimensional. El ejemplo estándar de una elíptica complejo es$\Omega^*(M)$$d$.
Pero tome $M$ a ser un pequeño complejo colector y $E_n = \Omega^{0,n}(TM)$ $\overline \partial$ a ser el Dolbeaut complejo con coeficientes en $TM$. Esto es de hecho una elíptica complejo, y el teorema anterior implica que $\mathcal H_0$ - el espacio de holomorphic campos vectoriales - es finito dimensionales.
Ahora tenga en cuenta que la Mentira álgebra de $\text{Aut}(M)$, el grupo de biholomorphisms de $M$, es el espacio de holomorphic campos vectoriales. Hemos demostrado que $\text{Aut}(M)$ es finito-dimensional Mentira grupo. Esto está en marcado contraste con el caso de $M$ noncompact; cada nonvanishing holomorphic función de $f$ define un biholomorphism de $\Bbb C^2$$(z,w) \mapsto (z,f(z)w)$, lo $\text{Aut}(\Bbb C^2)$ está muy de dimensiones infinitas.