$z_0$ singularidad no extraíble de $f\Rightarrow z_0$ singularidad esencial de $\exp(f)$

Question

Sea $z_0$ sea una singularidad aislada no removible de $f$ . Demuestre que $z_0$ es entonces una singularidad esencial de $\exp(f)$ .

Hola, lamentablemente no sé cómo probarlo. En mi opinión hay que considerar dos casos:

1. $z_0$ es un polo de orden $k$ de $f$ .

2. $z_0$ es una singularidad esencial de $f$ .

Answer 1

También podemos verlo desde el otro lado.

Si $z_0$ es una singularidad extraíble de $e^f$ entonces $\lvert e^{f(z)}\rvert < K$ en algún barrio perforado de $z_0$ . Desde $\lvert e^w\rvert = e^{\operatorname{Re} w}$ es decir $\operatorname{Re} f(z) < K'\; (= \log K)$ en un barrio pinchado $\dot{D}_\varepsilon(z_0)$ de $z_0$ y eso implica que $z_0$ es una singularidad extraíble de $f$ . (Si fuera un poste, $f(\dot{D}_\varepsilon(z_0))$ contendría el complemento de algún disco $D_r(0)$ si fuera una singularidad esencial, cada $f(\dot{D}_\varepsilon(z_0))$ sería denso en $\mathbb{C}$ por Casorati-Weierstraß; en ambos casos $\operatorname{Re} f(z)$ no tiene límite en $\dot{D}_\varepsilon(z_0)$ .)

Si $z_0$ eran un polo de $e^f$ sería una singularidad extraíble de $e^{-f}$ Por lo tanto $z_0$ sería una singularidad extraíble de $-f$ por lo anterior, por lo tanto $z_0$ sería una singularidad extraíble de $f$ y, por tanto, una singularidad extraíble de $e^f$ - contradicción.

Answer 2

La prueba anterior está muy bien, aquí aporto otra idea. La verdadera cuestión es que si $f$ tiene un polo, entonces $e^f$ tiene una singularidad esencial.

Supongamos que la conclusión es falsa, entonces existe un número entero $k$ y una función analítica $g$ en algún disco $|z|<\delta$ por ejemplo, $g(0)\neq0$ tal que $e^f=z^kg$ ,

$$f'=\frac{(e^f)'}{e^f}=\frac{k}{z}+\frac{g'}{g}$$

integrándola en el contorno $|z|=\frac{\delta}{2}$ encontramos $k=0$ ya que $g$ es analítica. Utilizando el hecho de que $g(0)\neq0$ podemos encontrar otra función analítica $h$ en el disco $|z|<\delta$ (en realidad deberíamos reducir este disco), tal que $e^f=g=e^h$ Así que $f=h+2n\pi i$ , $f$ tiene una singularidad extraíble, ¡contradicción!

Answer 3

En las condiciones mencionadas, la función $f(z)$ puede ampliarse sobre $z = z_0$ hasta un determinado radio (radio de convergencia), a saber \begin{equation*} f(z) = \sum_{k= -\infty}^{+ \infty} a_k (z-z_0)^k = \sum_{k= 1}^{+\infty} \frac{a_{-k}}{ (z-z_0)^k} + \sum_{k= 0}^{+ \infty} a_k (z-z_0)^k = f_0(z) + f_1(z); \end{equation*} aquí observamos la parte principal $f_0(z)$ y la parte holomórfica no principal $f_1(z)$ .

Porque la singularidad aislada de $f(z)$ en $z=z_0$ no es extraíble, significa que tenemos o bien un polo de orden $n \in \mathbb{N}$ o una singularidad esencial. En el caso de un polo al menos $a_{-n} \ne 0$ en caso de singularidad esencial infinitos coeficientes $a_{-k},\ k \in \mathbb{N}$ son distintos de cero - en ambos casos la parte principal $f_0(z)$ no es trivialmente equivalente a cero.

Podemos inspeccionar $g(z) = e^{f(z)}$ y su expresión sobre $z=z_0$ a saber \begin{equation*} g(z) = e^{f(z)} %= e^{ f_0(z) + f_1(z)} = e^{f_0(z)} \cdot e^{f_1(z)} = = \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{(f_0(z))^j}{j!} \cdot e^{f_1(z)} = \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{j!} \left( \sum_{k= 1}^{+\infty} \frac{a_{-k}}{ (z-z_0)^k} \right)^j \cdot e^{f_1(z)} = g_0(z) \cdot g_1(z); \end{equation*} aquí observamos el multiplicando no trivial $g_0(z)$ y el sobrante $g_1(z) = e^{f_1(z)}$ es una función holomorfa no evanescente en una vecindad de $z=z_0$ . Sin embargo, está claro que la parte principal de $g_0(z)$ presenta una infinitud de sumandos en la expresión obtenida - equivale entonces a $g(z)$ que tiene una singularidad esencial en $z=z_0$ .