¿Cómo puede la teoría de categorías ayudar a mi investigación en la teoría de conjuntos?

Question

¿Cómo puede la teoría de categorías ayudar a mi investigación en la teoría de conjuntos?

En mi trabajo actual rara vez utilizo la teoría de las categorías como tal, y casi nunca se ve teoría de las categorías en los trabajos de investigación sobre teoría de conjuntos o en las conferencias (excepto, por supuesto, cuando se trata de aplicar la teoría de conjuntos a la teoría de las categorías y no a la inversa). ¿Por qué ocurre esto, cuando el lenguaje y el pensamiento de la teoría de categorías ha tenido tanto éxito en otras partes de las matemáticas?

Dado que parece haber una comunidad relativamente considerable de teóricos de la categoría en este sitio, muchos de los cuales parecen saber mucho de la teoría de conjuntos o, al menos, tienen opiniones al respecto, espero poder obtener alguna información.

Tenga en cuenta que no estoy buscando una razón para hacer la teoría de la categoría en lugar de teoría de conjuntos. Ya me inspiran una serie de temas, cuestiones y resultados dentro de la teoría de conjuntos, que me parecen convincentes y a veces profundos. Lo que quiero saber es si la teoría de categorías puede proporcionarme técnicas para atacar esos problemas.

Answer 1

La ecuación de Schrodinger es simétrica en el tiempo. Por lo tanto, la respuesta es no.

Answer 2

Me interesan mucho más las categorías que los conjuntos, así que tomen lo que digo con una buena dosis de sal. Solomon Feferman dio una charla en el Coloquio de Lógica de Berkeley hace un tiempo en la que intentaba dar una buena descripción "teórica de conjuntos" (al menos en estilo) de lo que hacen realmente los teóricos de la categoría. Así que la teoría de las categorías ayuda a su investigación de la teoría de conjuntos sugiriendo nuevas preguntas.

Answer 3

Si no desea analizar todo el conjunto de datos, probablemente no pueda utilizar muestreo estratificado Así que sugiero tomar una gran muestra aleatoria simple . Al tomar una al azar Si la muestra es representativa, se garantiza que la muestra será, por término medio, representativa de todo el conjunto de datos, y las medidas estadísticas estándar de precisión, como los errores estándar y los intervalos de confianza, le indicarán lo lejos que pueden estar los valores de la población en las estimaciones de la muestra, por lo que no es necesario validar que una muestra sea representativa de la población, a menos que le preocupe que el muestreo sea realmente aleatorio.

¿Cómo de grande es una muestra aleatoria simple? Bueno, cuanto más grande sea la muestra, más precisas serán las estimaciones. Como ya tiene los datos, los cálculos convencionales del tamaño de la muestra no son realmente aplicables: puede utilizar la mayor parte de su conjunto de datos que sea práctica para el cálculo. A menos que esté planeando hacer algunos análisis complejos que hagan que el tiempo de cálculo sea un problema, un enfoque simple sería hacer la muestra aleatoria simple tan grande como pueda ser analizada en su PC sin llevar a paginación u otros problemas de memoria. Una regla general es limitar el tamaño de tu conjunto de datos a no más de la mitad de la memoria RAM de tu ordenador para tener espacio para manipularlo y dejar espacio para el sistema operativo y quizás un par de otras aplicaciones más pequeñas (como un editor y un navegador web). Otra limitación es que los sistemas operativos Windows de 32 bits no permiten que el espacio de direcciones de una sola aplicación sea mayor que $2^{31}$ bytes = 2,1GB, por lo que si utiliza Windows de 32 bits, 1GB puede ser un límite razonable para el tamaño de un conjunto de datos.

Entonces es cuestión de algo de aritmética simple para calcular cuántas observaciones puedes muestrear dado el número de variables que tienes para cada observación y cuántos bytes ocupa cada variable.

Answer 4

En varios lugares se ha afirmado que el forzamiento en lógica es similar o igual a la sheafificación. También MacLane, Categories for the Working Mathematician, tiene un apéndice titulado "Foundations", con la siguiente afirmación: "Sin embargo, las categorías pueden describirse directamente--y entonces pueden usarse como un posible fundamento para toda la matemática, sustituyendo así el uso en tal fundamento de los axiomas habituales de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos."

El resumen de este apéndice es (al menos para mí) sólo un esbozo informal de la cuestión. Cuando leí esto antes, nunca me quedó claro hasta qué punto se obtiene realmente una alternativa completa a los axiomas de la teoría de conjuntos. (¿O a la lógica de primer orden? ¿O al cálculo proposicional?)

O hasta qué punto alguna otra categoría puede ser abordada por axiomas como la categoría de conjuntos. De hecho, en la teoría de conjuntos estándar se trabaja con la categoría de ordinales además de la de conjuntos. ¿Podría haber axiomas útiles expresados en términos de la categoría de grupos o anillos o algo así?

Parece extraño que muchas matemáticas impliquen dos formalismos ortogonales lanzados juntos, la teoría de categorías y la teoría de conjuntos. Por ejemplo, para mí personalmente la distinción entre categorías pequeñas y grandes sólo ha sido útil por razones negativas. ¿Cuánto hay de lo que promete MacLane? (Quizá haya mucho y yo no lo sepa).

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Pues bien, hay un libro que podría ayudarme a romperme la cabeza, Topoi, el análisis categórico de la lógica , por Robert Goldblatt.

Answer 5

Una de las razones por las que la teoría de las categorías no ha tenido demasiado éxito al tratar con la teoría de conjuntos se debe a que las funciones de conjuntos no preservan la mayor parte de la estructura de un conjunto. Con esto quiero decir que las funciones no preservan $\in$ es decir, no tenemos $S \in T \Rightarrow f(S) \in f(T)$ . En la mayoría de los demás campos en los que la teoría de categorías ha tenido éxito, los morfismos conservan gran parte de la estructura de los objetos.

Como las funciones de conjunto no preservan $\in$ la mayoría de los teóricos de las categorías consideran los conjuntos de una manera bastante diferente a los teóricos de los conjuntos - para un teórico de las categorías un conjunto es una "bolsa de puntos", en la que la estructura interna de dicha bolsa es irrelevante, sólo los morfismos entre ellos son relevantes. Este es el punto de vista adoptado por Lawvere y Rosebrugh en Sets for Mathematics.

La teoría de los topos se ha considerado a menudo como una generalización de los conjuntos, pero yo la veo más como una generalización de las funciones de los conjuntos, no de los conjuntos en sí. Para obtener conjuntos en la norma $\in$ sentido hay que tomar los objetos en un topos junto con unas estructuras de árbol rígidas y bien fundadas. Véase MacLane y Moerdijk - Sheaves in Geometry and Logic, VI.10 para este punto de vista.

También está el libro de Joyal y Moerdijk llamado Algebraic Set Theory, que no he leído, pero creo que aplica métodos de topos y de teoría de categorías al estudio de modelos de teoría de conjuntos.