Encontrar el volumen de un conjunto

Question

Que $T_n = \{ x_i \geq 0 : x_1 + ... + x_n \leq 1 \} $. Sé $T_n$ es el tetraedro. MI pregunta: ¿Cómo puedo calcular la volutme $T_n$ cada $n$?

Answer 1

Primero Supongamos que queremos encontrar el volumen de $T_n(a)$, entonces por el cambio de variables $X=aU$, se puede ver que tenemos $V(T_n(a))=\color{red}{a^n}V(T_n(1))$.

Desde $x_1+\cdots+x_n\le1$ si y sólo si $x_n\le1$ y $x_1+\cdots+x_{n-1}\le 1-x_n$, tenemos $$ \begin{align}V(T_n(1))&=\int_{x_n\le 1}\left(\int_{x_1+\cdots+x_{n-1}\le1-x_n}dx_1\cdots dx_{n-1}\right)dx_n\\ &=V(T_{n-1}(1))\int_{x_n\le1}\color{red}{(1-x_n)^{n-1}}dx_n=\frac1 nV(T_{n-1}(1))\end{Alinee el} $$ el % de números $V(T_n(1))$satisfacer en la anterior fórmula de recursión, así $$V(T_n(1))=\frac1{n!}.$ $

Una otra manera es considerar la integral siguiente

$$I=\int_{T_n(a)}e^{-(x_1+\cdots+x_n)}dx_1\cdots dx_n$ $ Desde $V(T_n(a))=a^nV(T_n(1))$, $$I=\int_0^\infty e^{-a}dV(T_n(a))=V(T_n(1))\int_0^\infty n a^{n-1}e^{-a}da=n!V(T_n(1))$ $ pero también tenemos por lo tanto, $ de $$I=\left(\int_0^\infty e^{-x}dx\right)^n=1$ $$V(T_n(1))=\frac1{n!}.$ $

Answer 2

Sugerencia: La regla general es que el $n$-del volumen de un simplex es $\frac 1n$ veces el volumen de $ (n-1)$ de la base de tiempos la altura, que se puede demostrar por la integración. La altura es $1$, para que tenga una recurrencia.

Answer 3

Trate de usar la inducción. $T_{1}$ es sólo en el intervalo de $[0,1]$, que tiene un volumen (longitud) $1$. $T_{2}$ es un triángulo rectángulo con volumen (área) $1/2$. Ahora, imaginemos el caso de $n=3$. Cuando nos corte la tetraedro $T_{3}$ a cierta altura $z\in[0,1]$, obtenemos una sección transversal que se parece a $T_{2}$. Pero como $z$ se hace más grande, la sección transversal se hace más pequeño. Intenta convencerse de que, en general, tenemos $$ v(T_{n})=\int_{0}^{1}(1-x)^{n-1}v(T_{n-1})\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n}v(T_{n-1}) $$ Luego, con el hecho de que $v(T_{1})=1$,$v(T_{n})=1/n!$. Tenga en cuenta que nosotros escala de $(1-x)^{n-1}$ en lugar de por $1-x$ porque es el lineal dimensiones de la $T_{n-1}$ sector que escala por $1-x$, que se traduce en la $\mathbb{R}^{n-1}$ en el volumen de la rebanada de la escala por $(1-x)^{n-1}$.