¿Me lo puede explicar alguien?

Question

Estoy tratando de ver por qué el abajo es verdad.

$$ x^{\log(a)} = a^{\log(x)} $$

¿Alguien aquí sabe por qué? Gracias.

Answer 1

$$\large x^{\log(a)} = (e^{\log(x)})^{\log(a)} = e^{\log(x)\log(a)} = a^{\log(x)}$$

Esto sólo funciona si $x$ y $a$ son dos números reales positivos.

Answer 2

Esto es esencialmente otra manera de decir lo que sanjab ya lo ha dicho, pero de una manera que le da un poco más de contexto intelectual. Su tipo de la "razón más profunda" por qué funciona. Así que ¿por qué no $p^{\log(q)} = q^{\log(p)}$? Bien, porque hay una operación conmutativa $$\otimes : \mathbb{R}_{>0} \times \mathbb{R}_{>0} \longrightarrow \mathbb{R}_{>0}$$ que estoy a punto de definir, y como resulta que, tenemos los siguientes.

$$p^{\log(q)} = p \otimes q$$ $$q^{\log(p)} = q \otimes p$$

Así que déjame ir por delante y explicar la notación. Definir $\otimes$ como sigue.

$$p \otimes q = \exp(\log(p)\log(q))$$

A continuación, $\otimes$ es asociativa y conmutativa, y tiene un elemento de identidad, es decir,$e$, con lo que quiero decir que la siguiente identidad tiene, para todos los $p \in \mathbb{R}_{>0}$.

$$e \otimes p = p \otimes e = p$$

Ahora definir ese $p^* = \exp(1/\log(p))$. Esto tiene sentido cuando $p \in \mathbb{R}_{>0}$ es distinta de la $1$, en cuyo caso:

$$p^* \otimes p = p \otimes p^* = e$$

Además, $\otimes$ distributivos sobre la multiplicación:

$$p \otimes (qr) = (p \otimes q)(p \otimes r)$$

Si todo esto parece magia, no te preocupes, yo soy el que tome la magia de distancia. Hay un homomorphism de abelian grupos

$$\exp : (\mathbb{R},+,0) \rightarrow (\mathbb{R}_{>0},\times,1).$$

De hecho, esta función es bijective, por lo que podemos empujar las operaciones en $\mathbb{R}$ través $\exp$ para obtener operaciones en $\mathbb{R}_{>0}.$ Multiplicación en $\mathbb{R}_{>0}$ es lo que tenemos para empujar $+_\mathbb{R}$ través $\exp$, e $\otimes$ es lo que tenemos para empujar $\times_\mathbb{R}$. Así que, en realidad, $\mathbb{R}_{>0}$ es totalmente isomorfo a $\mathbb{R}$.

Ahora, dada $p \in \mathbb{R}_{>0}$$x \in \mathbb{R}$, podemos definir a la $p^x \in \mathbb{R}_{>0}$ como sigue:

$$p^x = p \otimes \exp x$$

Volviendo a tu pregunta, tenemos:

$$p^{\log(q)} = p \otimes \exp (\log q) = p \otimes q$$ $$q^{\log(p)} = q \otimes \exp (\log p) = q \otimes p$$

Answer 3

Sí: la definición general de $A^B$ es $\exp(B\log(A))$.