Finalmente, he encontrado las respuestas a mis dos preguntas. Empecemos desde el principio. En este caso, la respuesta es generalmente negativo, como la construcción siguiente muestra. Deje que nosotros de forma recursiva construir una secuencia $(f_n)$ de funciones continuas $f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f_n \geq 0$, con las siguientes propiedades:
(i) para cada $n$, el apoyo de $f_n$ está contenido en $\left( \frac{1}{2n+3}, \frac{1}{2n+1} \right)$,
(ii) para cada $n$,$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2n+2)^k} f_k(\frac{1}{2n+2}) \geq 1$.
Claramente la serie
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty} x^n f_n(t)
\end{equation}
converge para cada $x$ y cada una de las $t$, pero su suma $f(x,t)$ no es continua en a $(0,0)$.
Sorprendentemente, la respuesta a mi segunda pregunta es positiva. En efecto, supongamos que para cada fijos $x \in [-a,a]$ la serie
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty} x^n f_n(t)
\end{equation}
es uniformemente convergente en t $[-a,a]$. Poner $g_n(t) = a^n f_n(t)$. A continuación, la serie de $\sum_{n=0}^{\infty} g_n(t)$ es uniformemente convergente. Definir
\begin{equation}
G_n(t) = \sum_{k=0}^{n} g_k(t),
\end{equation}
y $G_{-1}(t)=0$. Fix $b$ tal que $0 < b < a$, vamos a $x \in [-b,b]$, y poner $y=x/a$, $r = b/a$. Luego de Abel parcial de la suma de la fórmula que tenemos para $0 \leq p \leq q$
\begin{equation}
\sum_{n=p}^{q} x^n f_n(t) = \sum_{n=p}^{q-1}G_n(t)(y^n - y^{n+1}) + G_q(t) y^q - G_{p-1} y^p.
\end{equation}
Ahora, desde la $(G_n)$ es uniformemente convergente, es uniformemente acotada por una constante $M >0$. Así tenemos
\begin{equation}
\left| \sum_{n=p}^{q-1}G_n(t)(y^n - y^{n+1}) + G_q(t) y^q - G_{p-1} y^p \right| \leq \left| \sum_{n=p}^{q-1}G_n(t)(y^n - y^{n+1}) \right| + \left| G_q(t) - G_{p-1} \right| |y|^{q} + \left| G_{p-1}(t)(y^{q} - y^{p}) \right| \leq 2M \sum_{n=p}^{q} |y|^n + \left| G_q(t) - G_{p-1} \right| |y|^{q} \leq 2M \sum_{n=p}^{q} r^n + \left| G_q(t) - G_{p-1} \right| r^{q}.
\end{equation}
Llegamos a la conclusión de que la serie
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty} x^n f_n(t)
\end{equation}
es uniformemente convergente en $(x,t)$$(x,t) \in [-b,b] \times [-a,a]$. En particular, ya que cada $h_n(x,t)=x^n f_n(t)$ es una función continua, la suma
\begin{equation}
f(x,t)= \sum_{n=0}^{\infty} x^n f_n(t), \quad (x,t) \in [-b,b] \times [-a,a],
\end{equation}
es continua en a $(0,0)$.
QED
