¿Si el % de espacio $X$es separable con un subconjunto denso contable $E$, entonces $X\setminus E$ tiene que tener una base contable?

Question

Digamos que tenemos un separable espacio de $X$, e $E$ es su contables subconjunto denso. Deje $E$ contienen puntos $\{e_{1},e_{2},\dots e_{n}\}$. $E$ puede ser denso, pero sólo si contiene al menos un punto de cada conjunto de base, que contengan cualquier punto de $X\setminus E$.

¿Esto implica que si $E$ es una contables denso conjunto, a continuación, $X\setminus E$ tiene que tener una contables de la base? La base de conjuntos de $X\setminus E$ puede ser construido mediante la toma de $(B_{i}\cap X\setminus E)$ donde $B_{i}$ es un conjunto de base de $X$.

He buscado para esta propiedad, pero no podía encontrar en cualquier lugar. Así que pensé que podría haber algo mal con el argumento.

Gracias de antemano!

Answer 1

No, $X\setminus E$ no tiene que tener una base contable; puede ser un subconjunto incontable, cerrado, discreto de $X$. El % de espacio de Mrówka $\Psi$en este post en el Blog de topología Dan Ma es este espacio. La compactación de la piedra de Čech, $\beta\Bbb N$, de los números naturales tiene $\Bbb N$ como un subconjunto denso, pero $\beta\Bbb N\setminus\Bbb N$ está muy lejos de tener una base contable.

Answer 2

Un ejemplo simple es el siguiente:

Sea $X$ una completment finita topología en un conjunto de innumerables. Entonces es separable. Cualquier subconjunto contable es denso en $X$. Escoge cualquier subconjunto contable $E$ $X$. Considerar el $X\setminus E$. No una base contable.