Yo estoy siguiendo un cálculo hecho por un hombre que se ha hecho un poco diferente de lo que he hecho antes de (utilizados vecino más cercano y vectores de una DFT en lugar de lo que voy a mostrar a continuación), no estoy muy seguro de cómo invertir esta expresión que nos da.
Estamos mirando en la formulación de la estrecha unión de la imagen de grafeno, utilizando la convención de $ \mathbf{r} = l \mathbf{a_1} + j \mathbf{a_2}$ para la posición de la celda unidad, y el número de $s = 1,2$ para el intra-celular átomo. Estado 1 se encuentra en la posición $\mathbf{r}$. En el sitio de potencial es $\epsilon_0$ y el salto de potencial es $t_0$ como de costumbre.
El Hamiltoniano de esta imagen es escrito en una base de localizada orbitales $\left| \mathbf{r} , s\right>$.
$$\begin{align} \hat{H} &= \sum_\mathbf{r} \biggl(\sum_{s=1,2} \left|\mathbf{r},s\right> \epsilon_0 \left<\mathbf{r},s\right|\biggr) \\ &\quad + \left|\mathbf{r},1\right> t_0 \bigl(\left<\mathbf{r},2\right| + \left<\mathbf{r} - \mathbf{a_1},2\right| + \left<\mathbf{r} - a_2 , 2\right|\bigr) \\ &\quad + \left|\mathbf{r},2\right> t_0 \bigl(\left<\mathbf{r},1\right| + \left<\mathbf{r} + \mathbf{a_1},1\right| + \left<\mathbf{r} + a_2 , 1\right|\bigr)\end{align}$$
Para hacer esto un poco más claro sin dibujar un diagrama, la línea superior, obviamente, se refiere al potencial del sitio y la segunda y la tercera al vecino más cercano de salto (es decir electrón en el átomo de 1 de saltos de atom 2, ya sea en la misma unidad de celdas o de la en $r-a_1$ o $r-a_2$).
Aquí es donde empieza a ponerse borroso para mí, el siguiente paso es que el uso de Bloch del Teorema de los vectores propios para el Hamiltoniano están dados por:
$$ \left|\mathbf{k}, \alpha\right> = \frac{1}{\sqrt{N_C}} \sum_\mathbf{r} \sum^2_{s=1} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} A_s \left|\mathbf{r},s\right>$$
donde $A_s$ son los coeficientes, $N_C$ la normalización de factor. Cuando he hecho la TBM método de grafeno en el pasado, he utilizado una Transformación discreta de Fourier para obtener una expresión para el estado en el impulso del espacio, invertido y puesto de nuevo en el original de Hamilton, dando una expresión para el Hamiltoniano en k-espacio. Yo diría que es una técnica similar, en este caso, y mi principal pregunta sería cómo invertir la expresión anterior si este es el caso? La suma de s me confunde cuando trato de hacer esto!
Además
1) ¿Cómo llegamos a esto el uso del teorema de Bloch? Yo sé que en el TBM buscamos funciones propias que son una combinación lineal de los orbitales, y que la expresión tiene un aspecto algo parecido a eso. Es la expresión anterior en el espacio recíproco?
2) El $\alpha$ más tarde se utiliza para hacer referencia a los efectos positivos o negativos (conducción o de valencia) bandas, se incluye aquí por conveniencia y continuidad para más tarde, o hay una manera para inferir que a partir de la de Hamilton o de la celda unidad ya? No está haciendo nada en la expresión en el momento, pero se utilizan de alguna manera cuando nos invertir (tal vez como un k-espacio equivalente de s=1 o 2)?
3) supongo que el resultado de la aplicación de la ecuación para el Hamiltoniano es que se obtiene una matriz de 2x2 de la Hamiltoniana en el espacio k, diagonalise esto y encontrar los autovalores de la energía?
Realmente agradecería un poco de ayuda en esto, he estado buscando en línea para cosas todo el día, pero todo el mundo lo hace de forma diferente, las hojas de las cosas y utiliza la notación diferente!
