¿Cómo mostrar $x^4 - 1296 = (x^3-6x^2+36x-216)(x+6)$?

Question

¿Cómo obtener este resultado: $x^4-1296 = (x^3-6x^2+36x-216)(x+6)$?

Es parte de una pregunta sobre encontrar límites en mooculus.

Answer 1

Pistas: $1296=(-6)^4$ y $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1})$.

Answer 2

Aquí hay una manera más difícil y similar, pero todavía tiene sentido si no tienes memorizado lo que dijo Julien.

$$x^4 - 1296 = x^4 - 6^4 \Rightarrow x^4 = 6^4$$Ahora dos raíces que parecen obvias son $6$ y $-6$. Pero $x^4 = x^4 \cdot 1 = x^4 \cdot i^4 = (xi)^4$. Así que dos raíces más son $6i$ y $-6i$.

Por lo tanto, la factorización es $$\begin{aligned}&(x - 6)(x + 6)(x+6i)(x - 6i) \\=& (x-6)(x+6)(x^2+36) \\=& (x+6)(x^3 - 6x^2 +36x-216)\end{aligned}$$

Answer 3

Una forma un poco más complicada:

$x^4 - 1296 \ $ es una diferencia de dos cuadrados, al igual que $ \ x^2 - 36 \ $, por lo que

$$(x^4 - 1296) \ = \ [ \ (x^2)^2 \ - \ (36^2) \ ] \ = \ (x^2 + 36) \ \cdot (x^2 - 36 ) $$

$$= \ (x^2 + 36) \cdot (x - 6) \cdot (x + 6) \ = \ (x^3 \ + \ 36x \ - \ 6x^2 - 216 ) \cdot (x + 6) \ . $$

EDIT: Me perdí que Πάρτη Κοηλί había hecho esto yendo hacia abajo a raíces complejas; esta versión "mantiene las cosas reales"...

Todas las respuestas que veo en el presente están bien -- no hay forma de evitar que uno necesita reconocer que 1296 es $ \ 6^4 \ $ , o de lo contrario necesita encontrar suficientes factores de 1296 para ver una forma de "descomponer" el polinomio.

Answer 4

$$\begin{array}{r|rrrr|r} & 1 & 0 & 0 & 0 & -1296 \\ -6 & & -6 & 36 & -216 & 1296 \\ \hline & 1 & -6 & 36 & -216 & 0 \end{array} $$

Esto muestra que $$ x^4-1296=(x+6)(x^3-6x^2+36x-216) $$

Por supuesto, también puedes usar

$$ a^4 - b^4 = (a-b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) $$ con $a=x$ y $b=-6$.

Answer 5

Es un resultado básico de la teoría de campos que si un binomio $\, x^n - c\,$ es reducible entonces tiene un factor propio dado por el Teorema del Factor o de la diferencia de cuadrados, de una de las siguientes dos formas

$$\begin{eqnarray} \text{Teorema del Factor}\!:\ \ & x^n - a^n &=\,& (x\ -\ a)\,(\cdots) \\ \Rightarrow\ \ {\rm Forma_1}\!:\ \ &(x^k)^p\!-a^p &=\,& (x^k- a)\, (\cdots)\quad \text{para primo}\ \ p\mid n \\ \Rightarrow\ \ {\rm Forma_2}\!:\ \ & x^{4k}\! + 4a^4 &=\,& (x^{2k}\!+2a^2)^2 - (2ax^k)^2 = \ \cdots \end{eqnarray}$$

Por lo tanto $\, x^4\! - 1296\,$ reducible $\,\Rightarrow\, 1296 = a^2,\,a^4,\,{\rm o}\,\ {-}4a^4.\,$ $\,1296 = 4\cdot 324 = 4\cdot 4\cdot 81 = 2^4\cdot 3^4,\,$ por lo tanto obtenemos factores de Forma$_1,\,$ es decir $\, x^4-(\pm a)^4 = (x\mp a)\,(\cdots)$

Una prueba de dicho teorema se puede encontrar en Karpilovsky, Temas en Teoría de Campos, Teorema 8.1.6.