Rompecabezas famoso: Problema de proporción chica/chico (Suma de series infinitas)

Question

Puzzle

En un país en el que la gente sólo quiere varones, todas las familias siguen teniendo hijos hasta que tienen un niño. Si tienen una niña, tienen otro hijo. Si tienen un niño, dejan de tener hijos. ¿Cuál es la proporción de niños y niñas en el país?

Mi solución (no terminada)

Si suponemos que la probabilidad de tener una niña es del 50%, el conjunto de casos posibles son:

Niño (50%)

Chica, Chico (25%)

Chica, Chica, Chico (12,5%)

...

Así, si llamamos G al número de niñas que tuvo una familia y B al número de niños que tuvo una familia, tenemos:

$B = 1$

$P(G = x) = (1/2)^{x+1}*x$

Así que

$G = \Sigma (1/2)^{x+1}*x$

Tengo la sensación de que la suma de esta serie infinita es 1 y que la proporción de chicas/chicos en este país será del 50%, ¡pero no sé cómo demostrarlo!

Gracias.

Answer 1

Es una pregunta trampa.

Esta pregunta es muy sencilla si aprendes a aceptar que la mayor parte de la información facilitada es completamente irrelevante...

No importa cuántas familias sigan teniendo hijos y cuántas dejen de tenerlos con 1 o 2... no es más relevante que el coche que conducen...

Ninguno de los datos facilitados altera la probabilidad estadística de que un niño nazca varón o mujer... sigue siendo del 50%.

Answer 2

Mike Scott tiene razón en que no es necesario sumar las series, pero supongamos que se quiere. Cada familia tiene 1 niño, eso es fácil. Cada familia tiene un 50% de probabilidades de no tener niñas, un 25% de probabilidades de tener 1, etc. Así que el número medio de niñas es $$\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{2^{i+1}}$$ La forma de resumirlo es recordar que $$\sum_{i=0}^\infty a^{-i} = \frac{1}{1-1/a}=\frac a{a-1}$$ Ahora bien, si se toma la derivada con respecto a $a$ : \begin{align} \frac{d}{da}\sum_{i=0}^\infty a^{-i} &= \frac d{da}\frac a{a-1} \\ \sum_{i=0}^\infty{-i}a^{-(i+1)} &= \frac {a-1-a}{(a-1)^2} = \frac{-1}{(a-1)^2} \\ \sum_{i=0}^\infty \frac{i}{a^{i+1}} &= \frac{1}{(a-1)^2} \end{align} Para $a=2$ , $$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i}{2^{i+1}}=1$$ Así que también hay una media de una niña por familia.

Answer 3

Si la probabilidad es del 50%, entonces podemos esperar que de cuatro familias tengan típicamente:

B B, B G, G B, G G

Sin embargo, como las familias se detienen cuando tienen un niño, no ganamos el niño de la primera fila ni la niña de la segunda fila: B B, B G,

Por lo tanto, en realidad tenemos tres niñas y tres niños.

De 8 familias que esperaríamos:

B B B, B B G, B G B, G B B, B G G, G B G, G G B, G G

y que realmente mantendríamos: B, B, B, GB, B, GB, GGB, GGG,

para un total de 7 G y 7 B.

Espero que la proporción siga siendo del 50% para cada resultado esperado de un mayor número de familias, pero no he demostrado nada como tal. Esto es mucho más sencillo y no requiere notación sumatoria ni matemáticas avanzadas.

Answer 4

Cuando oí por primera vez este enigma (no aquí), estaba convencido de que acabarías con más chicas. Por supuesto, mi intuición era errónea. Me encanta la prueba de que este no es el caso, pero para aquellos que disfrutan de una demostración para mejorar la intuición, esto es un poco de código python que escribí para convencerme de que este es de hecho el caso.

import random

class family():
    boys  = 0
    girls = 0

    def haveKids(self):
        while not self.boys:
            if random.randint(0, 1):
                self.boys += 1
            else:
                self.girls += 1

population = [family() for f in range(1000000)]

map(lambda f: f.haveKids(), population)
boys = sum(map(lambda f: f.boys, population))
girls = sum(map(lambda f: f.girls, population))

print "boys:", boys, "girls:", girls
print "difference:", abs(boys - girls)
print "percentage difference: %" + str(abs(float(boys - girls)/(boys + girls)))

Esto simula una población de 1 millón de familias. La diferencia entre el número de niñas y niños es nominal. La diferencia porcentual suele rondar el 0,001% para 1.000.000 de familias.

Answer 5

La proporción es 1:1. Tu suma de una serie infinita proporciona el resultado de la probabilidad de que haya un niño en la familia (teóricamente 1 porque los nacimientos se repiten infinitamente hasta que nace un niño); a medida que te acercas a 1 en tu respuesta a esto, te acercas a cero en la probabilidad de que haya no chicas en la familia. Esto es todo lo que esta suma nos dice realmente sobre las familias.