$k$ -momento del producto de la gaussiana y el sinc.

Question

Me gustaría calcular las siguientes integrales:

1. $$\int_{-\infty}^{+\infty} \quad x^k\quad \left(\frac{\sin(\pi a x)}{\pi ax}\right)^2\quad \exp(-bx^2)\,dx$$

2. $$\int_{-\infty}^{+\infty} \quad x^k\quad \left(\frac{\sin(\pi a x\pm\pi)}{\pi ax\pm\pi}\right)^2\quad \exp(-bx^2) \,dx$$

Gracias.

Answer 1

La primera:

• Los únicos momentos no nulos corresponden a los pares $k=2m$ . En este caso tenemos $$I_k=\int_{-\infty}^{\infty}x^k\left(\frac{\sin(\pi a x)}{\pi ax}\right)^2\quad \exp(-bx^2)\,dx=\frac{(-1)^{m-1}}{\pi^2a^2}\frac{\partial^{m-1}}{\partial b^{m-1}}\int_{-\infty}^{\infty}\sin^2\pi a x\, e^{-bx^2}dx$$
• Pero la última integral se puede escribir como \begin {align} \int_ {- \infty }^{ \infty } \sin ^2 \pi a x\, e^{-bx^2}dx= \frac14\int_ {- \infty }^{ \infty } \left (2-e^{2 \pi i a x}-e^{-2 \pi i a x} \right )e^{-bx^2}dx= \\ = \frac12\sqrt { \frac { \pi }{b}} \left (1-e^{- \pi ^2a^2/b} \right ), \end {align} donde en el último paso hemos utilizado la integral gaussiana $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\beta x^2+2\alpha x}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\beta}}\,e^{\alpha^2/\beta}$ .

Por lo tanto, uno encuentra $$I_{2m}=\frac{(-1)^{m-1}}{2\pi^2a^2}\frac{\partial^{m-1}}{\partial b^{m-1}}\left[\sqrt{\frac{\pi}{b}}\left(1-e^{-\pi^2a^2/b}\right)\right].$$

En cuanto a las integrales del 2º tipo, considere el cambio de variables $y=x\pm a^{-1}$ e intenta adaptar lo anterior, no es difícil.

Answer 2

1. $$\int_{-\infty}^{+\infty} \quad x^k\quad \left(\frac{\sin(\pi a x)}{\pi ax}\right)^2\quad \exp(-bx^2)\,dx$$

puede resolverse mediante integrales conocidas en las que interviene la función de Bessel del primer tipo.

Desde $$\left(\frac{\sin(\pi a x)}{\pi ax}\right)^2=\frac{1}{2ax}J_{\frac{1}{2}}(\pi ax)J_{\frac{1}{2}}(\pi ax)$$

1. puede escribirse como

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \quad\frac{1}{2a} x^{k-1}\,J_{\frac{1}{2}}(\pi ax)J_{\frac{1}{2}}(\pi ax)\, \exp(-bx^2)\,dx$$

Esa es una integral conocida del Volumen II de "Funciones trascendentales superiores" . Es válido para $k\geq 0, \,a>0,\,b>0$ .