Pregunta:
Demostrar que para cualquier prime $p>3$, el número de $\binom{2p-1}{p-1}-1$ es divisible por $p^{3}$.
Intento:
Ya que cada número entero que es relativamente primos de p tiene un inverso multiplicativo módulo p, denotan el inverso de x módulo p por x−1. Empezamos por la mejora de la conclusión de la anterior problema. Por lo tanto: $$\binom{2p}{p}-2=\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}^{2}=\sum_{k=1}^{p-1}\left ( \frac{p}{k}\binom{p-1}{k-1} \right )^{2}$$
Me siento como que he cometido un error, porque a menos que $\frac{1}{k}\binom{p-1}{k-1}$ es un número entero que no puedo continuar. Es un número entero? ¿Dónde tengo que ir desde aquí?
