Inverso de $\frac{1-e^{-x}}{x}$ $(0,1)$

Question

Estoy tratando de invertir (o calcular la inversa de) $$y=\frac{1-e^{-x}}{x}$$ para $y\in(0,1)$. La función 've' monótonamente decreciente entre el$x=0$$x=\infty$, pero no he sido capaz de demostrar esto.

He sido capaz de calcular la inversa de la función numéricamente, pero me pregunto si hay una solución analítica o la aproximación que podría ayudar a acelerar las cosas.

Mathematica me dice que el inverso es $$x=\frac{1+y\cdot\text{ProductLog}[-e^{-1/y}/y]}{y}$$ donde $\text{ProductLog}[z]$ es la solución a $z=we^w$. He intentado volver a organizar la última expresión, pero no puedo llegar a la función original. El trazado de la última función en $y\in(0,1)$, parece plausible, pero no quiero utilizar esta fórmula sin entender de dónde viene.

¿Alguien puede mostrarme cómo invertir la función original o que me ayudará a calcular la inversa de un cierto grado de precisión?

Answer 1

Derivación para obtener el Lambert $W$ función de: \begin{align} y&=\frac{1-e^{-x}}x\\ x&=\frac{1-e^{-x}}y\\ x\,e^x&=\frac{e^{x}-1}y\\ \left(x-\frac 1y\right)\,e^x&=-\frac 1y\\ \left(x-\frac 1y\right)\,e^{\large{x-\frac 1y}}&=-\frac {\large{e^{-\frac 1y}}}y\\ x-\frac 1y&=W\left(-\frac {\large{e^{-\frac 1y}}}y\right)\\ \end{align} y la deseaba fórmula : $\quad\boxed{\displaystyle x=\frac 1y+W\left(-\frac {\large{e^{-\frac 1y}}}y\right)}$

En este punto (como se indica por robjohn) podemos utilizar el hecho de que $\;y\in(0,1)\;$ y se observa que el parámetro de la de Lambert-$W$ función de $\,-\dfrac 1y\;e^{-\large{\frac 1y}}\;$ le pertenecen a $\;\left(-\dfrac 1e,\;0\right)$.

Las implicaciones son :

• para cualquier $\,y\in(0,1)\;$ tenemos dos soluciones reales a partir de las dos ramas de la de Lambert-$W$ función (ver la foto en el enlace de Wikipedia y de la discusión acerca de la imagen de $W$ por debajo o por encima de $-1$ correspondiente al parámetro $-\dfrac 1e$) :$$x_1=\frac 1y+W\left(-\frac {\large{e^{-\frac 1y}}}y\right),\;x_2=\frac 1y+W_{-1}\left(-\frac {\large{e^{-\frac 1y}}}y\right)$$
• el parámetro de $W$ puede ser escrito como $\;u\,e^u\,$ $u=-\dfrac 1y\;$ pero $\;W_{-1}(u\,e^u)=u\;$ en el segundo caso, de modo que $\;x_2=\dfrac 1y-\dfrac 1y\;$ con las soluciones de convertirse simplemente : $$x_1=\frac 1y+W\left(-\frac {\large{e^{-\frac 1y}}}y\right),\ x_2=0$$ ($x_2=0$ es más bien una solución de $\:x\;y=1-e^{-x}\;$ de inicial de la ecuación)