¿Es $\{g(n)\}_{n\in\mathbb{Z}}\in\ell_2$ $g$ es una función de Sobolev en la línea real?

Question

Si se les da una función de $g\in W_2^k(\mathbb{R})$ (incluso considerar la posibilidad de $k=1$ por simplicidad), entonces, ¿es verdad o no que $\{g(n)\}_{n\in\mathbb{Z}}\in\ell_2$? Es decir, ¿tenemos $$\underset{n\in\mathbb{Z}}\sum|g(n)|^2<\infty$$ ?

Al principio pensé que esto debe ser falso, pero después de intentarlo durante un tiempo para construir un contraejemplo, me pareció un poco más difícil de lo que pensaba. La conclusión es que no es cierto para funciones sólo en $L_2(\mathbb{R})=W_2^0(\mathbb{R})$, debido a que considere la función $g$, de modo que $g^2$ formas de triángulos o de tienda funciones en cada número entero de altura 1 y la anchura $2^{-n}$. El área es un cuadrado de summable, pero por encima de la suma es infinita. Sin embargo, cuando tenemos que tener el control sobre la primera derivada se vuelve un poco más difícil, porque por ejemplo una tienda de campaña función ya no funciona.

Mi idea era intentar establecer $g(n)=n^{-1/2}$ para un subconjunto infinito de los números naturales (considere el$g(x)=0$$x\leq 0$), y tratar de asegurar que las funciones derivadas era lo suficientemente pequeño como para ser cuadrado summable, pero esto no parece funcionar.

Cualquier sugerencia o comentario será muy útil. Estoy seguro que alguien lo sabe, incluso a pesar de que nunca he visto antes.

Answer 1

Aha! Este en realidad es un poco de un tricksy problema en el análisis de Fourier. Lo que quiero hacer es, considerar la transformada de Fourier de $g$, se $\hat{g}$. Desde $g$$L^2(\mathbb{R})$, por lo que es $\hat{g}$, por las propiedades de la transformada de Fourier.

Ahora vamos a periodize $\hat{g}$ en una función vamos a sugestivamente llamar a $\hat{G}$ con $$ \hat{G} (k) = \sum_{m \in \mathbb{Z}} \hat{g}(m+k)$$ A continuación, $\hat{G}$ es una función periódica en la unidad de intervalo, por lo que tiene una serie de Fourier de la representación. ¿Cuáles son los coeficientes de Fourier de $\hat{G}$?

La sumación de Poisson fórmula nos dice que son precisamente los valores de nuestra función original! Para ser precisos, $$\hat{G}(k) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} g(n) e^{-2\pi i n k}$$ A partir de aquí, se debe tener claro que $$ \sum_n |g(n)|^2 = \|\hat{G}\|_{L^2([0,1])}^2 = \|g\|^2_{L^2(\mathbb{R})}$$

(Respuesta a un comentario): gerw, usted ha puesto el dedo sobre, precisamente, el punto interesante de este problema que me olvidé en mi respuesta original. Mis disculpas por descuidar.

El uso de la transformada de Fourier como yo, que necesita la distribución de Poisson de totalización, formulación, para ser válido, en el sentido de que $\hat{g}$ debe ser integrable (ver, por ejemplo, Stein y Weiss, Capítulo VII, Teorema 2.3). Este es, por decir lo menos, no es cierto en general $L^2$ funciones $g$, pero para funciones de Sobolev se desprende de $$ \int |\hat{g}(k)| dk \leq \int |\hat{g}(k) (1+|k|^2)^\frac{1}{2}| \frac{1}{(1+|k|^2)^\frac{1}{2}} dk \leq \left(\int |\hat{g}(k)|^2 (1 + |k|^2) dk \right)^\frac{1}{2} \left (\int \frac{1}{1+|k|^2} dk \right)^\frac{1}{2} $$ El primer término en la expresión final es bien conocido por ser el $W^1_2$ norma de $g$, y el segundo es integrable y una constante.

Answer 2

Teorema de

Deje $(x_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ ser un conjunto de puntos separados en $\mathbb{R}$ tal que $\underset{n\in\mathbb{Z}}\inf x_{n+1}-x_n>c$. Si $g\in W_p^k(\mathbb{R})$, $1\leq p\leq\infty$, $k\in\mathbb{N}$, a continuación,$(g(x_n))\in\ell_p$.

Prueba:

En primer lugar, en la $p=\infty$ de los casos, si $g\in W_\infty^k(\mathbb{R})$, $g$ es de Lipschitz, y así el resultado es obvio. ($W_\infty^1(\mathbb{R})=Lip(\mathbb{R})$ Es un resultado no trivial).

Así que abordamos el caso de $1\leq p<\infty$. Deje $$I_n:=\left[x_n-\frac{c}{3},x_n+\frac{c}{3}\right],\quad n\in\mathbb{N}$$ Los definimos de esta manera, de modo que ellos son distintos, y también a $|I_n|=\frac{2}{3}c$ todos los $n$. Por disjointness, tenemos que $$\underset{n\in\mathbb{Z}}\sum\int_{I_n}|g|^p\leq\int_\mathbb{R}|g|^p<\infty$$ Por otro lado, si $y_n:=\underset{x\in I_n}{argmin}|g(x)|^p$, entonces tenemos que $$|g(y_n)|^p\frac{2}{3}c\leq\int_{I_n}|g|^p$$ y, en consecuencia, $(g(y_n))\in\ell_p$.

El siguiente Lema va a ser muy útil en la actualidad.

Lema: [Un Primer Curso en Espacios de Sobolev, Leoni, Thm 7.13, p.222]

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}$ ser abierto y $u:\Omega\to\mathbb{R}$. Deje $1\leq p<\infty$. A continuación, $u\in W_p^1(\mathbb{R})$ si y sólo si se admite que un absolutamente continua representante, $\tilde{u}:\Omega\to\mathbb{R}$ tal que $\tilde{u}$ y su clásico derivado $\tilde{u}'$ pertenecen a $L_p(\mathbb{R})$. Por otra parte, si $p>1$, $\tilde{u}$ es Titular continuo de exponente $1/p'$.

Así que desde $W_p^k(\mathbb{R})\subset W_p^1(\mathbb{R})$, teniendo en $\Omega=\mathbb{R}$ en el Lema nos permite, sin pérdida de generalidad asumir que $g$ es absolutamente continua. Por lo tanto, por el Teorema Fundamental del Cálculo, $$g(x_n)=g(y_n)+\int_{y_n}^{x_n}g(t)dt$$ Usando la desigualdad de $|a+b|^p\leq 2^p(|a|^p+|b|^p)$, tenemos $$|g(x_n)|^p\leq 2^p\left[|g(y_n)|^p+\left|\int_{y_n}^{x_n}g(t)dt\right|^p\right]\leq 2^p\left[|g(y_n)|^p+\left(\frac{2c}{3}\right)^\frac{p}{p'}\int_{I_n}|g(t)|^pdt\right]$$ La segunda desigualdad sigue por el Titular de la Desigualdad: $$\left|\int_{y_n}^{x_n}g(t)dt\right|^p\leq\left(\int_{y_n}^{x_n}|g(t)|dt\right)^p\leq |I_n|^\frac{p}{p'}\int_{I_n}|g(t)|^pdt$$

Llegamos a la conclusión de que $$\underset{n\in\mathbb{Z}}\sum|g(x_n)|^p\leq C\left[\underset{n\in\mathbb{Z}}\sum|g(y_n)|^p+\underset{n\in\mathbb{Z}}\sum\int_{I_n}|g|^p\right]<\infty$$ y la conclusión de la siguiente manera.