Noob aquí. Estaba jugando con los primos en JavaScript y me encontré con que si divido el n n primer momento a la suma de números primos hasta n, acercarse a 2 para cada n va al infinito: %#% $ #% debido a las limitaciones de la computadora solamente pude probar esto por a n = 25000, donde el resultado fue de alrededor de 2.1. Mi pregunta es si el resultado será realmente más cercano a 2 (pero nunca debajo) o que llegue tiempo. Y si hay una prueba, por supuesto...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por el Teorema de los números Primos y esto conseguimos $$ \lim_n \,\frac{np_n}{p_1+\ldots+p_n}=\lim_n\, \frac{n\,(n \ln n)}{\frac{1}{2}n^2\ln n}=2. $$
ACTUALIZACIÓN: Con respecto a la convergencia de arriba, el siguiente sería correcta si el límite superior de la suma exacta, pero no lo es. Probablemente se requiere un enfoque diferente.
De estimación cuantitativa de la suma de k de los números primos y la k-ésima primer obtenemos $$\requieren\cancelar \frac{np_n}{p_1+\ldots+p_n}\ge \frac{\cancelar{n^2}\left(\ln n+\ln \ln n-1\right)}{\frac{\cancelar{n^2} \ln n}{2}\left(1+\frac{1}{2\ln n}+\frac{4.02}{(\ln n)^2}\right)}\overbrace{=}^{t=\ln n}2 \, \frac{t+\ln t-1}{t+1/2+4.02/t}. $$
En el extremo derecho de expresión es mayor que $2$$t>7.604$$n>e^{7.604}\approx 2006.2$, por lo que si sus cálculos son correctos, de hecho, la secuencia converge a $2$ estrictamente desde arriba.
