Hace $f_n \to 0$, a.e., implica $\int_{\mathbb R} \sin(f_n(x)) dx \to 0$, cuando cada $f_n \in L^1$

Question

Que $\{f_n\}$ sea una secuencia de $L^1(\mathbb R)$ funciones convergentes a.e. a cero. ¿\Int_{\mathbb hace $$ \lim_{n\to \infty} R} \sin(f_n(x)) dx = 0? $$

Creo que la respuesta es no, pero no puedo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Usted es correcto. Por ejemplo, considere $f_n=\chi_{[n, n+1]}$.

Answer 2

Prueba $f_n:=\frac{\pi}2\chi_{(n,n+1)}$.