En gamas de operador en espacios de Banach y de Hilbert

Question

Lema 1 de Anderson & Trapp del Cortocircuito Operadores, II es

Deje $A$ $B$ estar acotada a los operadores en el espacio de Hilbert $\mathcal H$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) corrió($A$) $\subset$ ran($B$).

(2) $AA^\* \le \lambda^2 BB^\*$ algunos $\lambda \ge 0$.

(3) existe un operador acotado $C$ tal que $A = BC$.

Por otra parte, si (1), (2) y (3) están satisfechos, no existe un único operador $C$, de modo que ker($A$) = ker($C)$ y corrió($C$) $\subset$ cierre(ran($B^\*$)).

Que siga esto con la declaración, "los lemas y los originales de las pruebas siguen siendo válidos para los operadores entre dos espacios de Hilbert."

Pregunta:me gustaría saber si hay una declaración similar para obtener más general de los espacios de Banach, y si es así, dónde podría encontrar.

Mi contexto: estoy considerando el espacio de Banach $\Omega = C(U_1) \times C(U_2)$ de funciones continuas de más de dos dominios. Tengo una covarianza operador $$K : \Omega^\* \to \Omega$$ que es descompuesto como $$K = \binom{K_{11} ~ K_{12}}{K_{21} ~ K_{22}}.$$ I want to apply the above lemma to $A = K_{21}$ and $B = K_{22}^{1/2}$.

Edit: Si tenemos una probabilidad de medida $\mathbb P$$\Omega$, luego continuo lineal funcionales $\Omega^\*$ son variables aleatorias. Así, la expectativa $\mathbb Efg$ $f, g \in \Omega^\*$ está bien definido. La covarianza operador es la forma bilineal definida por $f(Kg) = \mathbb Efg$.

Answer 1

Una manera de reformular (1) como resultado de la factorización es:

Supongamos que $S:X\to Z$ y $T:Y\to Z$ son operadores lineales acotados y $SX\subset TX$. Luego induce a $S$ factores mediante el mapa $T$ $Y/T^{-1}(0)$ $Z$. Al ver esto, WLOG $T$ $S$ uno a uno y son sólo observar que por ejemplo el gráfico cerrado teorema $SX\subset TX$ implica que $a$, $SB_X \subset aTB_Y$.

Por supuesto, esto implica que si se complementa con $T^{-1}(0)$ $Y$, entonces %#% factores de #% a través de $S$ sí mismo.

Answer 2

(1) generalmente no implica (3) delimitada por los operadores entre espacios de Banach. El primer ejemplo tengo una referencia para los que fue debido a Douglas y fue incluido en la "Factorización de operadores en el espacio de Banach" por Embry en 1973. Que papel tiene mucho más que podrían ser de su interés, tales como el hecho de que la factorización es cierto cuando usted tiene el reverso de la gama de inclusión de la adjoints.

Vea también: http://www.jstor.org/stable/2043114

Answer 3

Mi impresión inicial es que para lo que quieres, vas a tener una noción de $A^*: E\to E$ al $A:E\to E$ es un operador en un espacio de Banach. No sé mucho acerca de esto, pero hace unos años hizo ver este corto de papel

MR2053349 (2005a:46045)
Gill, Tepper L.(1-HWRD-EE); Basu, Sudeshna(1-HWRD); Zacarías, Woodford W.(1-HWRD-EE); Steadman, V.(1-DC)
Medico adjunto para los operadores en espacios de Banach. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 132 (2004), no. 5, 1429--1434

que requiere la elección de un espacio de Hilbert de rigging $H_1 \hookrightarrow E \hookrightarrow H_2$.

Una cosa que pueda ir mal con $(1) \implies (3)$ en general los espacios de Banach es la no-existencia, en general, de las proyecciones de la $E$ a un subespacio cerrado. Sin embargo, esto no descarta la posibilidad de que algo como $(1)\implies(3)$ hecho; yo tendría que pensar sobre esto un poco más.

Edit: ah, veo que en la configuración de los operadores de ir de un espacio de Banach a otro, en lugar de desde el espacio para sí mismo. Que podría hacer una diferencia, y de hecho, desde que usted está buscando en un $C(K)$-espacio y no sólo de uno arbitrario, más herramientas podrían estar disponibles.