Una pregunta el conjunto derivado

Question

Que $A$ ser un conjunto de y $A'=\{x: x \text{ is the accumulation point of A}\}$, que se llama el conjunto derivado de $A$. Por lo tanto, podemos definine $A''$ $A'$.

¿Entonces tenemos $A''\subset A'$?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Es cierto si $X$ $T_1$.

Si $x\in A''\setminus A'$ y $U$ es cualquier nbhd abierto de $x$, entonces el $U\cap A'\ne\varnothing$, pero hay un % de nbhd abierto $U_0$$x$tal que $U_0\cap A\subseteq\{x\}$. Que $y\in U_0\cap A'$; entonces $U_0$ es un abierto nbhd de $y$, que $U_0\cap(A\setminus\{y\})\ne\varnothing$. Sigue que $U_0\cap A=\{x\}$. Pero entonces $U_0\setminus\{x\}$ es un abierto nbhd de $y$ cuya intersección con $A\setminus\{y\}$ está vacío, lo cual es imposible. Así, $A''\subseteq A'$.