¿Cómo debería entender un PDE que contiene la distribución o medida matemáticamente?

Question

Sabemos que la delta de Dirac puede ser vagamente pensó como una función en la línea real que es cero en todas partes, excepto en el origen, donde es infinito, $$ \delta(x)=\begin{cases}+\infty, &x=0\\ 0, &x\neq 0 \end{casos} $$ y que también se ve limitada para satisfacer la identidad $$ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1 $$ Sin embargo, esto es simplemente una heurística de la caracterización. La función delta de Dirac es rigurosamente definido como una distribución o como una medida.

Aquí viene el problema. He visto muchas ecuaciones en derivadas parciales que contengan funciones delta, que no son funciones, en el sentido tradicional. Por ejemplo, la siguiente:

Stokes con singularmente forzado: $$ \begin{align} -\nabla p+\mu\nabla^2{\bf u}+{\bf g}\delta({\bf x}-{\bf x}_0) &= 0,\\ \nabla\cdot {\bf u} &= 0 \end{align} $$ donde ${\bf g}=(g_i)_{1\leq i\leq 3}\in{\mathbb R}^3$ es una constante arbitraria vector, ${\bf x}_0$ es un punto arbitrario en el dominio, y $\delta$ es el tridimensional de la función delta de Dirac.

Aquí están mis preguntas:

1. Para la primera ecuación, los dos primeros términos, $-\nabla p$, $\mu\nabla^2{\bf u}$, son funciones en el sentido tradicional, ¿cómo debo entender "un sentido tradicional de la función, además de una distribución o una medida"?
2. En general, ¿qué hace un PDE decir cuando contiene una medida o de distribución?

Answer 1

Cuando vea una ecuación diferencial que utiliza distribuciones, como la delta de Dirac de distribución, entonces usted tiene que entender que la "igualdad" siempre se entiende en el sentido de las distribuciones.

Dado que las distribuciones son elementos de los dos espacios de diferentes espacios funcionales, a continuación, en realidad son lineales funcionales que actúan en estos espacios. La delta de Dirac de distribución es un elemento de $\mathcal{D}'$, el doble de espacio de todas las funciones lisas. Por lo tanto, $\delta$ actúa en una función suave como $\langle\delta,f\rangle=f(0)$, para todos los $f\in C^{\infty}$ (observe que esta acción es lineal).

Así, cuando usted ve una ecuación diferencial como $u''-u=\delta$, entonces usted debe interpretar como diciendo $\langle u''-u,f\rangle=\langle \delta,f\rangle = f(0)$. Tenga en cuenta que $u$ hecho puede ser una función, y no de una distribución, pero siempre se puede identificar una función con sus lineal funcional $T_u$, definido por $\langle T_u,f \rangle=\int_{\mathbb{R}^n}uf d\mathbf{x}$ (que es, de nuevo de forma lineal).

Por lo tanto, usted podría decir $u''-u=\delta$ si $$\langle u''-u,f\rangle=\langle u'',f\rangle-\langle u,f \rangle$$ $$=\langle T_{u''},f \rangle-\langle T_u,f \rangle$$ $$=\int_{\mathbb{R}}u''fdx-\int_{\mathbb{R}}ufdx$$ $$=f(0)$$ $$=\langle\delta,f\rangle,$$

para todos los $f\in C^{\infty}.$