Resolución "a, b, a + b han dado divisores" problema

Question

He leído un interesante artículo, matemáticas.NT/0409456 donde estás tratando de resolver un problema simple:

Para un dado (finito) conjunto de los números primos S encontrar todas las soluciones de una ecuación a + b = c con la condición de que todos los primer divisiors de enteros a, b, c debe estar en S.

y este problema resulta ser muy geométrica. Resulta que (y te digo que en los comentarios de abajo) realmente estás tratando con secciones de ciertos proyectiva de morfismos de esquemas R --> Spec ZZ \ S. En el artículo se demuestra que el número de soluciones de la ecuación es finito, comprobando que el número de estas secciones es finito.

Hay una especie de teoría general u otros métodos para probar cosas acerca de las secciones de estos mapas? ¿Qué es la intuición utiliza aquí? Habría una manera de contar con estas soluciones?

Answer 1

El problema original que mencionar es también conocido como el "S-unidad ecuación": ver página de Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/S-unit_equation#S-unit_equation). Hay una gran cantidad de literatura que aborda este problema de una forma más clásica de la dirección, pero sólo se trata de probar que hay un número finito de soluciones/delimitador el número de soluciones, sin contar las soluciones (que parece ser bastante duro).

Todavía no he averiguado lo que está pasando con la conexión a sistemas, pero es bastante ingeniosa que hay uno!

Answer 2

Esto me suena a como se relaciona con algunos trabajos recientes de Lagarias y Soundararajan:

http://arXiv.org/pdf/0911.4147

Su papel tiene algunas relaciones la conjetura ABC y GRH. Espero que esto ayude.

Answer 3

Esto va a ser muy duro! Sabiendo que el primer divisores de a,b,c implica conocer el radical rad(abc) (el producto de los distintos números primos dividiendo abc) y, a continuación, a sabiendas de las soluciones a,b,c, a + b = c en los enteros positivos, puede saber cuál es la más grande de c con a,b,c coprime (pares o no, no importa). Por lo que estaría en una posición para resolver la conjetura ABC c \leq C(epsilon)rad(abc)^{1 + \epsilon} si usted puede manejar todas las S-unidad de ecuaciones. La conjetura ABC es el problema pendiente en Diophantine análisis.