Demostrar que $ax^2+bx+c=0$ no tiene raíces racionales si $a$, $b$ y $c$ son impares.

Question

Si $a, b, c$ son impares, ¿cómo podemos demostrar que $ax^2+bx+c=0$ no tiene raíces racionales?

No pude avanzar más allá de esto: Las raíces son $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ y los números racionales tienen la forma $\frac pq$.

Answer 1

Deberías pensar en factorizar el polinomio en lugar de encontrar sus raíces. Si $ax^2 + bx + c$ tiene una raíz racional, entonces su otra raíz también debe ser racional, y luego se factoriza de alguna manera así: $$ax^2 + bx + c = (Ax + B)(Cx + D) \quad A, B, C, D \in \mathbb{Z}$$ Entonces $a = AC$ y $c = BD$, por lo que si ambos son impares, entonces todos los $A, B, C, D$ son impares. Pero entonces también tenemos $b = AD + BC$, que es la suma de enteros impares, y por lo tanto es par.

Answer 2

Considere una ecuación cuadrática de la forma $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$. La única forma en que puede tener raíces racionales es si existen dos enteros $\alpha$ y $\beta$ tales que

$$\alpha \cdot \beta = a\cdot c\tag1$$ $$\alpha + \beta = b\tag2$$ $$ Explicación\left\{ \begin{align} if\,\alpha\cdot \beta &= a\cdot c,\\ \frac{\alpha}{a} &= \frac{c}{\beta}\\ a\cdot x^2 + b\cdot x + c& = a\cdot x^2 + (\alpha + \beta)\cdot x + c\\ & = a\cdot x^2 + \alpha\cdot x + \beta\cdot x + c\\ & =a\cdot x(x + \frac{\alpha}{a}) + \beta\cdot (x + \frac{c}{\beta}))\\ & =a\cdot x(x + \frac{\alpha}{a}) + \beta\cdot (x + \frac{\alpha}{a}))\\ & =(x+\frac{\alpha}{a})\cdot (a\cdot x + \beta)\\ &\text {Dado que una ecuación cuadrática solo tiene dos raíces,}\\ &\text {no habría otra forma de factorizar la ecuación} \end{align}\right. $$ $$\text{Razón }\alpha,\beta\in\mathbb{Z}\begin{cases} \text{Dado un Anillo R, con dos operaciones }\left\{⋅,+\right\},\text{ en }\mathbb{Q}\\ \text{y si } \alpha,\beta \in \mathbb{Q},\alpha\cdot \beta \in \mathbb{Z},\alpha+\beta\in\mathbb{Z}\\ \Rightarrow\alpha,\beta \in \mathbb{Z}\\ \text{ donde } \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q} \end{cases} $$ Si $(a,b,c)$ son impares entonces $\alpha \cdot \beta$ es impar y $\alpha + \beta$ es impar, pero no puede haber dos enteros cuyo producto y suma sean impares.

Así que por contradicción probamos que la ecuación no puede tener raíces racionales

Answer 3

Supongamos que $a, b, c$ son impares. $ax^2 + bx + c = 0$ tiene raíces racionales si y solo si el discriminante es el cuadrado de un número entero. Es decir, existe un entero $d$ tal que $d^2 = b^2 - 4ac$. Dado que $a, b, c$ son impares, $d$ también debe ser impar.

Observa que el lado derecho de $$ (b - d)(b + d) = 4ac\tag{1} $$ tiene exactamente dos factores de $2$. Sin embargo, dado que tanto $b$ como $d$ son impares, $2d \equiv 2\pmod{4}$ y por lo tanto uno de $b-d$ y $b+d$ es $0\bmod{4}$ y el otro es $2\bmod{4}$. Por lo tanto, el lado izquierdo de $(1)$ tiene al menos tres factores de $2$. Contradicción.

Answer 4

Pista $\ $ Por el Test de Raíz Racional, cualquier raíz racional es integral, por lo tanto se deduce por

Teorema Test de Paridad en las Raíces $\ $ Un polinomio $\rm\:f(x)\:$ con coeficientes enteros no tiene raíces enteras si su coeficiente constante y suma de coeficientes son ambos impares.

Prueba $\ $ El test verifica que $\rm\ f(0) \equiv 1\equiv f(1)\ \ (mod\ 2)\:,\ $ es decir que $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces módulo $2$, por lo tanto no tiene raíces enteras. $\ $ QED

Este test se extiende a muchos otros anillos que tienen un "sentido de paridad", es decir, una imagen $\cong \Bbb Z/2,\:$ por ejemplo, varios anillos de números algebraicos como los enteros gaussianos.

Answer 5

Si $\frac{p}{q}$ es una raíz, entonces $a\frac{p^2}{q^2}+b\frac{p}{q}+c=0\Rightarrow ap^2+bpq+cq^2=0$. Ahora podemos asumir que $p,q$ no son ambos pares; $a,b,c$ son impares, lo que lleva a una contradicción ($p(ap+bq)=-cq^2$ con $p$ par y $c,q$ impares o $q(bp+cq)=-ap^2$ con $q$ par y $a,p$ impares o ...).