Ecuación de la función, encontrar la función evaluada en el punto determinado.

Question

Deje $f(x)$ ser un polinomio con coeficientes reales tales que $f(0) = 1,$ $f(2)+f(3)=125,$ y para todos $x$, $f(x)f(2x^{2})=f(2x^{3}+x).$ Encontrar $f(5).$

El término constante, $a_0 = f(0) = 1$.

Vamos a:

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$

$f(2) = \sum_{k=0}^{n} a_k 2^k$ $f(3) = \sum_{k=0}^{n} a_k 3^k$

$$f(1)f(2) = f(3)$$

Pero no tengo ni idea. Consejos por favor, no complete las respuestas!

Answer 1

Quizás estos pasos hacen que sea más claro - como se especifica dando a sólo pasos clave, hágamelo saber si hay algo más de detalle.

Deje $f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k$. Inmediatamente, $f(0)=1 \implies a_0 = 1$.

Siguiente, a partir de la ecuación funcional, considerar el coeficiente de la potencia más elevada plazo en cualquiera de los lados. Espectáculo $a_n=1$.

De Vieta, ahora tenemos que el producto de todas las raíces es $\pm1$. Argumentar a partir de la ecuación funcional y las raíces de la $r \to 2r^3+r$ que si alguna raíz ha módulo distinto de $1$, hay una serie infinita de raíces.

Así que todas las raíces tienen forma de $r = e^{i\theta}$$|2r^3+r| = 1$. Mostrar esta $\implies r = \pm i$.

Finalmente, como $f$ tiene coeficientes reales, debe ser de la forma $f=(x^2+1)^{m}$ y el resto se sigue de la computación.