Demostrar que existe una desenfrenada lineal operador $T:\ell^1\rightarrow \mathbb R^2$..

Question

Cómo probar que existe una desenfrenada lineal operador $T:\ell^1\rightarrow \mathbb R^2$?

Answer 1

Este debe exigir el uso del axioma de elección. Es coherente que el axioma de elección falla y cada operador lineal entre espacios de Banach es continua, es decir, limitada. Así que usted no puede escribir algo como esto en una fórmula y necesita apelar a algunos objetos intangibles, en esta respuesta podemos apelar a la existencia de una base de Hamel.

Revisión de una base de Hamel $\cal B$ y sin pérdida de generalidad supongamos que todos los $b\in\cal B$ es tal que $\|b\|_1=1$. Deje $\{b_i\mid i\in\Bbb N\}$ una secuencia de $\cal B$, ahora vamos a definir la siguiente función:

$$F(b)=\begin{cases} (i,i)& \exists i\in\Bbb N\text{ such that }b=b_i\\0 &\text{otherwise}\end{cases}$$

Extender esta $F$ a un operador lineal y es fácil ver que es ilimitado.

Answer 2

$$(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) \mapsto \left(\sum_{n\ge 1} n\,a_n\,,\ 0\right)$$ es un ejemplo, si te refieres a unbounded operador, según este artículo de la wikipedia.

Answer 3

Este no es un directo responderle, pero puede ser útil.

Berci la respuesta de la muestra que uno puede explícitamente la construcción de un ilimitado (en todas partes definidas), operador en algunas dimensiones infinitas normativa espacio de $\,X$ (sin usar el aire acondicionado). Por otro lado, Asaf nos dijo que esto es imposible si $\,X$ es de Banach (es decir, completa con respecto a la distancia inducida por la norma). ¿Por qué es eso así?

La razón es que cada infinito-dimensional espacio de Banach no tiene contables Hamel (este es un ejercicio útil) y así uno no puede exhibir una sin AC.