Sea G un grupo y $a,b \in G$. Se da eso $o(a)$ $o(b)$ son finitos. Puede dar un ejemplo de un grupo donde $o(ab)$ es infinito?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El ejemplo común es el infinito diedro grupo.
Considerar el grupo de los mapas en $\mathbf{Z}$ $$ D_{\infty} = \{ x \mapsto \pm x + b : b \in \mathbf{Z} \}. $$ Considerar los mapas $$ \sigma: x \mapsto -x, \qquad \tau: x \mapsto -x + 1, $$ tanto de orden $2$. Su composición $$ \tau \circ \sigma (x) = \tau(\sigma(x)) : x \mapsto x + 1 $$ tiene una infinidad de orden.
Considere las matrices $$A=\left(\begin{array}[cc] .1 & -1\\ 0 & -1\end{array}\right)\quad\text{and}\quad B=\left(\begin{array}[cc].1&0\\ 0 & -1\end{array}\right).$$ You can check that each have order $2$, but their product gives $$(AB)^n=\left(\begin{array}[cc] .1 & n\\ 0 & 1\end{array}\right),$$una matriz sin finito de orden.
Si $\circ(a)$ es el orden de $a$, generalmente denotado $|a|$, mirando permutaciones de $\mathbb{N}$ son una manera fácil para encontrar un ejemplo.
Por ejemplo, consideremos las permutaciones:
$$ a = (12)(34)(56)...$$ $$ b = (23)(45)(67)...$$
No es difícil ver que tanto $a$ $b$ tiene orden 2, pero tenga en cuenta la imagen de $1$ bajo $(ab)^n$ a ver que la orden de $ab$ es infinito.