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Ejemplo de un grupo donde $o(a)$ $o(b)$ son finitos, sino $o(ab)$ es infinito

Sea G un grupo y $a,b \in G$. Se da eso $o(a)$ $o(b)$ son finitos. Puede dar un ejemplo de un grupo donde $o(ab)$ es infinito?

33voto

Anthony Cramp Puntos 126

Probablemente usted ha visto este efecto: los espejos en dos paredes opuestas de una habitación.

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Tomar dos paralelas hyperplanes en $\mathbb R^n$. La reflexión en cada uno de ellos es una isometría de orden 2. Pero su composición es una traducción de una sucesión infinita.

19voto

Andreas Caranti Puntos 35676

El ejemplo común es el infinito diedro grupo.

Considerar el grupo de los mapas en $\mathbf{Z}$ $$ D_{\infty} = \{ x \mapsto \pm x + b : b \in \mathbf{Z} \}. $$ Considerar los mapas $$ \sigma: x \mapsto -x, \qquad \tau: x \mapsto -x + 1, $$ tanto de orden $2$. Su composición $$ \tau \circ \sigma (x) = \tau(\sigma(x)) : x \mapsto x + 1 $$ tiene una infinidad de orden.

19voto

medicine28 Puntos 16

Considere las matrices $$A=\left(\begin{array}[cc] .1 & -1\\ 0 & -1\end{array}\right)\quad\text{and}\quad B=\left(\begin{array}[cc].1&0\\ 0 & -1\end{array}\right).$$ You can check that each have order $2$, but their product gives $$(AB)^n=\left(\begin{array}[cc] .1 & n\\ 0 & 1\end{array}\right),$$una matriz sin finito de orden.

9voto

muzzlator Puntos 5769

Si $\circ(a)$ es el orden de $a$, generalmente denotado $|a|$, mirando permutaciones de $\mathbb{N}$ son una manera fácil para encontrar un ejemplo.

Por ejemplo, consideremos las permutaciones:

$$ a = (12)(34)(56)...$$ $$ b = (23)(45)(67)...$$

No es difícil ver que tanto $a$ $b$ tiene orden 2, pero tenga en cuenta la imagen de $1$ bajo $(ab)^n$ a ver que la orden de $ab$ es infinito.

4voto

Jared Puntos 21

Cada avión directo de rotación (de ángulo de $2\theta$) es el compuesto de dos ortogonales reflexiones con líneas fijas formando un ángulo de $\theta$. Si $2\theta/2\pi$ es irracional, entonces la rotación de ángulo de $2\theta$ tiene orden infinito.

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