El punto de esta derivación es ampliar el exponente, y convertir la integral en una infinita suma de las integrales, cada uno de los cuales es, básicamente, una $\Gamma$-función. Entonces la suma se puede escribir como una suma de dos hipergeométrica de la serie. Estoy bastante seguro de que esto es lo que Mathematica.
Llame a la integral de la $I$, y escribir la exponencial como
$$ \exp(-(ax-b)^2) = e^{-b^2-a^2x^2}e^{2abx} = e^{-b^2-a^2x^2}\sum_{k\geq0} (2ab)^k\frac{x^k}{k!}. $$
Luego, usando Mathematica, tenemos
$$\int_0^\infty e^{-a^2x^2}x^{k+p}dx = \frac{a^{-1-k-p}}{2} \Gamma\left(\frac{1+k+p}{2}\right). $$
Después de un poco de manipulación de la integral se convierte en
$$ I = \frac{1}{2}e^{-b^2}a^{-1-p}\sum_{k\geq0} (2b)^k \Gamma\left(\frac{k}{2} + \frac{1+p}{2}\right) \frac{1}{k!}, $$
llame a la suma de $S$.
Ahora, por definición tenemos
$$ F(a;b;x) = \sum_{k\geq0}\frac{\Gamma(a+k)/\Gamma(a)}{\Gamma(b+k)/\Gamma(b)}\frac{x^k}{k!}, $$
donde $\Gamma(a+k)/\Gamma(a)$ son el aumento de los poderes de $a$,
$$ \frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)} = a(a+1)(a+2)\cdots(a+k-1). $$
Split $S$ en dos sumandos, uno de los más aun $k$, y el otro sobre impar $k$; este se deshace de $k/2$ en el argumento de $\Gamma$. Entonces
$$ S = \sum_{k\geq0}\left((2b)^{2k} \frac{\Gamma\left(k+\frac{1+p}{2}\right)}{(2k)!} + (2b)^{2k+1}\frac{\Gamma\left(k+\frac{2+p}{2}\right)}{(2k+1)!}\right). $$
El uso de
$$ \frac{2^{2k}}{(2k)!} = \frac{1}{k!}\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2}+k)/\Gamma(\frac{1}{2})}, \qquad
\frac{2^{2k}}{(2k+1)!} = \frac{1}{k!}\frac{1}{\Gamma(\frac{3}{2}+k)/\Gamma(\frac{3}{2})}
$$
Encontrar que
$$ S = \Gamma\left(\frac{1+p}{2}\right) F\left(\frac{1+p}{2};\frac12;b^2\right) + 2b\Gamma\left(1+\frac{p}{2}\right)F\left(1+\frac{p}{2};\frac32;b^2\right). $$
Sustituir el uso de $\Gamma(1+p/2)=(p/2)\Gamma(p/2)$, y se obtiene la expresión de necesario para $I$.
