Demostrando que $\operatorname{codim}(X,Y)=\dim(\mathcal{O}_{X,\eta})$

Question

Tengo un problema con el siguiente ejercicio: % Let $X$ser un esquema noetheriano y $Y \subset X$ un subconjunto cerrado irreducible. Tengo que probar ese %#% $\operatorname{codim}(X,Y)=\dim(\mathcal{O}_{X,\eta}),$ #% Dónde está el punto genérico de $\eta$. Podemos reemplazar con un abierto afine $Y$, barrio que contiene el punto genérico $X$ $U_\eta$. Así tenemos $\eta$ $pero no sé cómo concluir la prueba. ¿En particular si$$\operatorname{codim}(X,Y)=\operatorname{codim}(U_\eta \cap Y,U_\eta) ,$ es un componente irreductible de $Z$, puedo concluir que $X$? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

La observación principal aquí es que hay una topológico de la incrustación $$j: \operatorname{Spec}\: \mathcal O_{X,\eta}\hookrightarrow X$$ inducing an order preserving bijection between the points $z=[\mathfrak p]\en \operatorname{Spec}\: \mathcal O_{X,\eta}$ and the set $\operatorname {Tir}(Y,X)$ of irrreducible closed subsets $Z\subconjunto X$ satisfying $S\subconjunto Z\subconjunto X$ .
El bijection asociados a $z\in \operatorname{Spec}\: \mathcal O_{X,\eta}$ irreducible cerrado subconjunto $Z=\overline {\{j(z)\}}$
Esto queda demostrado en EGA I, Proposición (2.4.2) página 102 . Ver también esta respuesta en MathOverflow.

El fin de la relación en $\operatorname{Spec}\: \mathcal O_{X,\eta}$ $$z=[\mathfrak p] \leq z'=[\mathfrak p'] \iff z\in \overline { \{z'\}}\iff \mathfrak p\supset \mathfrak p'$$ and the order relation on $\operatorname {Tir}(Y,X)$ being $Z\subconjunto Z'$, we immediately obtain $$\operatorname {dim} (\operatorname{Spec}\: \mathcal O_{X,\eta})=\operatorname{codim} (Y,X)$$