Probar que hay infinitamente muchos números primos terminados en 1 o 9.

Question

Probar que hayan infinitamente muchos números primos terminan en 1 o 9.

Creo que podría ser un buen punto de partida considerar que hay solamente finito tal primos $p_{1},...,p_{k}$ y considerar el número $m = (2p_{1}...p_{k})^{2} - 5$.

No muy seguro dónde ir desde aquí. Se agradecería cualquier sugerencias o enfoques.

Answer 1

Uno del teorema de Dirichlet afirma eso si $a$ y $b$ son números enteros tales que $\gcd (a,b)=1$, entonces la secuencia aritmética $an+b$ contiene infinitos números primos de muchos. Su tarea ahora es encontrar un ejemplo de secuencias aritméticas que produce números terminan $1$; y una secuencia que cada elemento tiene $9$ al final. El resultado se siga aplicando el teorema de Dirichlet.

Nota: Teorema de Dirichlet es un armamento pesado, y me imagino que es más sencillo abordar su problema.

Answer 2

Sugerencia: Si $q$ es un extraño primer divisor de un número de la forma $n^2 - 5$, entonces $5$ es un residuo cuadrático $\mod q$. De la reciprocidad cuadrática Teorema que concluimos que $q$ es un residuo cuadrático módulo $5$.