Cómo puedo encontrar el límite siguiente: $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{2x^2}$ $
No sé cómo hacer esta ayuda será apreciada.
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Oli
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Sugerencia: Multiplica arriba y abajo por $1+\cos(3x)$. Luego debe seguir el límite de lo que sabes acerca de $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}$.
O bien utilizar más mecánicamente la regla de L'Hospital dos veces.
Comentario: El enfoque matemáticamente más natural es que ninguna de las anteriores. Por la extensión de la habitual serie de energía $\cos t$, tenemos $$1-\cos(3x)=\frac{(3x)^2}{2!}-\frac{(3x)^4}{4!}+\cdots.$ $ $2x^2$ dividir el lado derecho y que $x\to 0$.
Multiplicar arriba y abajo por $1+\cos(3x)\;$ (que se llama conjugado de $1 - \cos(3x))$.
$$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{2x^2} \cdot \frac{1 + \cos(3x)}{1 + \cos(3x)} $$ $$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(3x)}{2x^2(1 + \cos(3x)}$$ $$= \lim_{x\to 0}\; \frac{\sin^2(3x)}{2x^2(1 + \cos(3x))}$$ $$=\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(3x)}{3^2\cdot x^2}\cdot \frac{3^2}{2[1+\cos(3x)]}$$ $$=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)^2\frac{9}{2(1+\cos(3x))}$$ $$=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)^2\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{(1+\cos(3x))}=1\cdot\frac{9}{2\cdot 2} = \frac94$$
Supongo que conoces el valor de $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin ax}{ax} = 1\,$ $a$ Dónde está una constante distinto de cero.
Si sabes L'hospital, puede que dos veces (distinguir cada uno del numerador y el denominador dos veces), aplicar y evaluar el límite resultante. Si no has aprendido aún, es probable que se aprenden pronto, y pueden simplificar enormemente problemas como este!
mrs.imran
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26
$$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{2x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{2x^2}\frac{1+\cos(3x)}{1+\cos(3x)}=\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2(3x)}{2x^2}\frac{1}{1+\cos(3x)}=$ $ % $ De $$=\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(3x)}{2{(3x)}^2}\frac{9}{1+\cos(3x)}=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)^2\frac{9}{2(1+\cos(3x))}=\frac{9}{4}$con L'Hopital regla $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{2x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{3\sin(3x)}{4x}=\lim_{x\to 0} \frac{9\cos(3x)}{4}$ $
