¿Qué es una ecuación diferencial parcial escalar (EDP)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
eyeballfrog
Puntos
1
Una ecuación diferencial parcial escalar es una ecuación diferencial parcial cuyas soluciones son funciones de valor escalar. Ejemplos de ello son la ecuación de onda 1D, $$ \frac{\partial u}{\partial t} - c\frac{\partial u}{\partial x} = 0, $$ la ecuación de Schrodinger, $$ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi, $$ y la ecuación de Vlasov, $$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\boldsymbol\nabla f + \frac{q}{m}\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)\cdot\boldsymbol\nabla_v f = 0. $$ Esto se opone a las EDP como las ecuaciones de Maxwell, \begin{eqnarray} \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf E &=& \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf B &=& 0 \\ \boldsymbol\nabla\times\mathbf E &=& -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \boldsymbol\nabla\times\mathbf B &=& \mu_0 \mathbf J + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \end{eqnarray} cuyas soluciones $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ son funciones vectoriales, o las ecuaciones de campo de Einstein, $$ G_{\mu\nu}[g_{\mu\nu}] + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}, $$ cuya solución $g_{\mu\nu}$ es una función tensorial. ( $G_{\mu\nu}$ es una abreviatura de un operador diferencial parcial muy complicado al que no te someteré).
Andre
Puntos
261
Supongo que una EDP escalar es una ecuación diferencial parcial para una función $u$ que toma valores en $\mathbb{R}$ y no, por ejemplo, en $\mathbb{R}^{d}$ para $d \geq 2$ . Así, por ejemplo, la ecuación del calor $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u $$ para una función $u \colon [0,T] \times \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R} $ es escalar, mientras que la ecuación de Maxwell $$ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t} $$ no lo es.
Alternativamente, una EDP escalar podría contrastarse con un sistema de EDP, por lo que no importa en qué espacio vive la solución siempre que su ecuación viva en $\mathbb{R}^{1}$ . En este sentido, por ejemplo, la ecuación $$ \nabla \cdot B = 0 $$ para $B \colon \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ sería un escalar aunque su solución no sea un escalar.
Al final, creo que esto depende del contexto de su problema/campo. Tengo la impresión de que la "EDP escalar" no es realmente una terminología estándar y diferentes autores pueden querer decir cosas diferentes con ese término.
Espero que eso ayude.
The Princeton Companion to Mathematics p. 459 , §IV.12 "Ecuaciones diferenciales parciales" de Sergiu Klainerman, dice:
escalar [diferencial parcial] ecuaciones son ecuaciones en las que sólo hay una incógnita función $u$ que toma valores en los números reales $\mathbb{R}$ o en los números complejos $\mathbb{C}$ . Sin embargo, muchas importantes EDP implican múltiples funciones escalares desconocidas funciones escalares desconocidas o (equivalentemente) funciones que toman valores en un espacio vectorial multidimensional como $\mathbb{R}^m$ . En en estos casos, decimos que tenemos un sistema de EDP.
