Si$f''(x)+f(x)>0$ y$f(x)>0$ $\forall x\in(a,b)$; $f(a)=f(b)=0$; Pruebalo $b-a>\pi$.

Question

Por favor me ayude a resolver esta cuestión:

Supongamos que satisface $f:[a,b] \to \Bbb R$:

• $f''(x)+f(x)>0$ y $f(x)>0$ % todo $x\in(a ,b)$;
• $f(a)=f(b)=0$.

Demostrar que $b-a>\pi$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que tengo una solución cuando $f''$ se supone que es continua.

Cuando $x\in (a,b)$, que $\sin\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)>0$ así que usando la primera Asunción, % $ de $$0<\int_a^bf(x)\sin\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)dx+\int_a^bf''(x)\sin\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)dx=I_1+I_2\tag{1}.$tenemos, integración por partes y usando $f(a)=f(b)=0$ $$I_1=-\frac{\pi}{b-a}\left(\int_a^b-f'(x)\cos\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)dx.\right)$de % $ haciendo lo mismo para $I_2$, finalmente conseguimos $$\small 0<\left(\frac{(b-a)^2}{\pi^2}-1\right)\int_a^bf'(x)\cos\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)=\left(\frac{(b-a)^2}{\pi^2}-1\right)\int_a^bf(x)\sin\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)dx.$ $ $\int_a^bf(x)\sin\left(\frac{x-a}{b-a}\pi\right)dx>0$, hemos terminado.

Answer 2

Mi respuesta es bajo el supuesto de que $f$ $f'$ son continuas en a $[a,b]$ $f''$ existe en $(a,b)$.

Definir $$g:[a,b]\to \mathbb{R}, \quad x\mapsto f'(x)\sin(x-a)-f(x)\cos(x-a).$$ Por definición, $g$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$. Por otra parte, desde $f(a)=f(b)=0$, $g(a)=0$ y $g(b)=f'(b)\sin(b-a)$. A continuación, por medio del teorema del valor, no existe $c\in(a,b)$, de tal manera que $$\frac{f'(b)\sin(b-a)}{b-a}=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=g'(c)=(f''(c)+f(c))\sin(c-a).\tag{1}$$ Por un lado, por $f(x)>0$ $(a,b)$ y $f(b)=0$, $f'(b)\le 0$; por otro lado, $f''(c)+f(c)>0$. Peinado de estos hechos con $(1)$, podemos concluir que $b-a>\pi$.

Edit: Después de la lectura de Sánchez respuesta, me di cuenta de que sin asumir que $f$ es diferenciable en a $a,b$, la prueba puede ser modificado de la siguiente manera.

Suponga que $b-a\le \pi$. A continuación, $g$ es diferenciable en a $(a,b)$ y $$g'(x)=(f''(x)+f(x))\sin(x-a)>0.$$ Por lo tanto, $g$ es estrictamente creciente en a $(a,b)$. Como resultado, tanto $$g(a^+):=\lim_{x\to a^+} g(x)=\lim_{x\to a^+}f'(x)\sin(x-a)$$ y $$g(b^-):=\lim_{x\to b^-} g(x)=\lim_{x\to b^-}f'(x)\sin(x-a)$$ existen, y $g(b^-)>g(a^+)$. Sin embargo, desde la $f(x)>0$$(a,b)$$f(a)=f(b)=0$, por medio del teorema del valor $$\limsup_{x\to a^+}f'(x)\ge\liminf_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0 $$ y $$\liminf_{x\to b^-}f'(x)\le\limsup_{x\to b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\le 0 .$$ De ello se desprende que $g(a^+)\ge 0\ge g(b^-)$, una contradicción.

Answer 3

Falta alguna información en la pregunta, de lo contrario hay algunos contraejemplos:

• Que $a = b = 0$ y $f(0) = 0$. Esta función tiene las propiedades deseadas (no hay $x \in (a,b)$, $b - a = 0$. Tenga en cuenta que esta función es aún continua...

• Que $f(a) = f(b) = 0$ y $f(x) = 1$ $x \in (a,b)$. Por supuesto, esta función no tiene continuidad en $a$ y $b$, pero es lisa en $(a,b)$. Ahora, $a$ y $b$ puede ser elegido arbitrariamente.

Answer 4

Edición: Esta respuesta requiere que todos integrales están bien definidos, que será el caso si $f''$ es continuo, como en respuesta de Davide.

Editar 2: Volver a la original % límites $a$y $b$ después del comentario de OP.

Por integración parcial (dos veces) tenemos \leq $$\int_a^b f''(x)\sin(x - a)dx = f'(b) \sin(b-a) - \int_a^b f(x) \sin(x-a) dx$$ and so $$\int_a^b\left(f(x) + f''(x)\right) \sin(x-a) dx = f'(b) \sin(b-a).$$ Since $f'(b) 0 $ this is impossible if $b un < \pi$.