¿Si $X^n+Y^n+1$ es reducible, es que el grado sea divisible por la característica?

Question

Yo estaba jugando con el Frobenius mapa, e hizo una pequeña observación.

Supongamos $F$ es un campo, y $F[X,Y]$ es el correspondiente polinomio anillo en dos indeterminates. Si $\text{char}(F)=p$ divide un número entero $n$, $n=pq$ algunos $q$. Considere el polinomio $X^n+Y^n+1$. Entonces $$ X^n+Y^n+1=X^{pq}+Y^{pq}+1^{pq}=(X^p+Y^q+1^q)^p $$ por lo $X^n+Y^n+1$ es reducible. Espero que esta observación es correcta.

¿El contrario también? Es decir, si $X^n+Y^n+1$ es reducible, se puede concluir que los $\text{char}(F)$ divide $n$? Traté de encontrar algo de factorización, y creo que debería ser algo como $(X^r+\text{stuff}+1)$ $(X^s+\text{stuff}+1)$ donde $r+s=n$, pero no podía encontrar una explícita de factorización.

Answer 1

Voy a demostrar que si la característica, decir $p$, del campo no divide $n$ $X^n + Y^n + 1$ es irreducible en a $F[X,Y]$. En $F[Y]$ el polinomio $Y^n + 1$ es separable y, por supuesto, no es una constante. Deje $\pi(Y)$ ser un factor irreducible de $Y^n+1$$F[Y]$. Luego en el ring $F[X,Y] = F[Y][X]$, consideramos el polinomio $X^n + Y^n + 1$ como un polinomio en $X$ con coeficientes en $F[Y]$ y ver que es de Eisenstein con respecto a $\pi(Y)$. Por lo tanto, por la de Eisenstein irreductibilidad en el criterio aplicado para el PID $F[Y]$, no ${\mathbf Z}$) de nuestro polinomio en irreductible en $F[Y][X] = F[X,Y]$.

Me gusta utilizar este tipo de ejemplo en algunos cursos para $X^n + Y^n - 1$ en lugar de eso, desde entonces, $Y-1$ es visible lineal factor de $Y^n - 1$ y se puede decir directamente (sin el resumen elección de $\pi(Y)$ $X^n + Y^n - 1$ es de Eisenstein con respecto a $Y-1$ al $p$ no divide $n$, por lo que es irreducible en a $F[Y][X] = F[X,Y]$. Esto hace que (algunos de) los estudiantes obtener un nuevo reconocimiento para el ámbito de la Eisenstein irreductibilidad criterio.

Answer 2

Si$n$ es coprime con la característica (por ejemplo$p$) entonces puede comprobar que la curva proyectiva en$\mathbb P^2$ cortada por$X^n + Y^n + Z^n = 0$ es suave y, en particular, irreducible. Así,$X^n + Y^n + Z^n$ es irreducible, y por lo tanto es$X^n + Y^n + 1$.

Así que para reducibility, usted necesita$p$ para dividir$n$.