$(x+y)^a \geq x^a + y^a$

Question

Tomar el $x,y \in (0,\infty), a \in (1, \infty)$. $a \in \mathbb N $ Por el teorema del binomio tiene $$(x+y)^a \geq x^a + y^a.$ $ intentarlo con algunos números parece cierto también para $a \in (1, \infty)$. ¿Cómo puedo comprobarlo?

Answer 1

Asumir $y<x$. Entonces tenemos

$(x+y)^\alpha = x^\alpha(1+\frac{y}{x})^\alpha > x^\alpha (1+\frac{y}{x})$.

Última desigualdad desde $(1+\frac{y}{x})>1$. Pero ahora $\frac{y}{x}<1$, por lo tanto, $\frac{y}{x} > (\frac{y}{x})^\alpha$, así

$x^\alpha (1+\frac{y}{x}) > x^\alpha (1+(\frac{y}{x})^\alpha) = x^\alpha+y^\alpha$.

Answer 2

Que $u,v\in(0,1)$ ser tal que el $u+v=1$. Tendremos con $a>1$ $u^a<u$ (para probar, por ejemplo, usted puede tomar $\log$: $u^a<u\iff a\log u<\log u\iff(a-1)\log u<0$) y $v^a<v$. Y tan $$ u ^ + v ^ un < u + v = 1. $$ Ahora, que $u=x/(x+y)$ y $v=y/(x+y)$.