En un triángulo$\angle A = 2\angle B$ iff$a^2 = b(b+c)$

Question

Demostrar que en un triángulo $ABC$, $\angle A = \angle 2B$, si y sólo si:

$$a^2 = b(b+c)$$

donde $a, b, c$ son los lados opuestos a $A, B, C$ respectivamente.

Me atacó el problema usando la Ley de los Senos, y trató de probar que si $\angle A$ era de hecho igual a$2\angle B$, entonces la ecuación anterior se mantenga verdadera. A continuación, podemos probar el recíproco de este para completar la prueba.

A partir de la Ley de los Senos,

$$a = 2R\sin A = 2R\sin (2B) = 4R\sin B\cos B$$

$$b = 2R\sin B$$

$$c = 2R\sin C = 2R\sin(180 - 3B) = 2R\sin(3B) = 2R(\sin B\cos(2B) + \sin(2B)\cos B)$$

$$=2R(\sin B(1 - 2\sin^2 B) +2\sin B\cos^2 B) = 2R(\sin B -2\sin^3 B + 2\sin B(1 - \sin^2B))$$

$$=\boxed{2R(3\sin B - 4\sin^3 B)}$$

Ahora,

$$\implies b(b+c) = 2R\sin B[2R\sin B + 2R(3\sin B - 4\sin^3 B)]$$

$$=4R^2\sin^2 B(1 + 3 - 4\sin^2 B)$$

$$=16R^2\sin^2 B\cos^2 B = a^2$$

Ahora, para demostrar lo contrario:

$$c = 2R\sin C = 2R\sin (180 - (A + B)) = 2R\sin(A+B) = 2R\sin A\cos B + 2R\sin B\cos A$$

$$a^2 = b(b+c)$$

$$\implies 4R^2\sin^2 A = 2R\sin B(2R\sin B + 2R\sin A\cos B + 2R\sin B\cos) $$

$$ = 4R^2\sin B(\sin B + \sin A\cos B + \sin B\cos A)$$

No tengo idea de cómo proceder a partir de aquí. Traté de sustitución de $\sin A$$\sqrt{1 - \cos^2 B}$, pero que no producen resultados útiles.

Answer 1

1) $\angle A=2\angle B$
corte de la bisectriz de ángulo de $\angle A$ $BC$ en el $D$ $\Longrightarrow$ $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{b}{c}$
así, $CD=\dfrac{b}{b+c}a$
also, $\triangle CAD\sim\triangle CAB$ $\Longrightarrow$ $CA^{2}=CD\cdot CB$
por lo tanto, $b^{2}=\dfrac{b}{b+c}a\cdot a$ $\Longrightarrow$ $a^{2}=b(b+c)$

2) $a^{2}=b(b+c)$
corte de la bisectriz de ángulo de $\angle A$ $BC$ en el $D$ $\Longrightarrow$ $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{b}{c}$ $\Longrightarrow$ $CD=\dfrac{b}{b+c}a$
$a^{2}=b(b+c)$ $\Longrightarrow$ $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{b}{\dfrac{b}{b+c}a}$ $\Longrightarrow$ $\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{CA}{CD}$ and $\angle DCA=\angle ACB$
thus, $\triangle ACD\sim\triangle ACB$ $\Longrightarrow$ $\angle CAD=\angle CBA$ $\Longrightarrow$ $\angle A=2\angle B$

Answer 2

$$a^2-b^2=bc\implies \sin^2A-\sin^2B=\sin B\sin C\text{ as }R\ne0$$

Ahora, $\displaystyle\sin^2A-\sin^2B=\sin(A+B)\sin(A-B)=\sin(\pi-C)\sin(A-B)=\sin C\sin(A-B)\ \ \ \ (1)$

$$\implies \sin B\sin C=\sin C\sin(A-B)$$

$$\implies \sin B=\sin(A-B)\text{ as }\sin C\ne0$$

$$\implies B=n\pi+(-1)^n(A-B)\text{ where }n\text{ is any integer} $$

Si $n$ es, $n=2m$(say) $\implies B=2m\pi+A-B\iff A=2B-2m\pi=2B$ $0<A,B<\pi$

Si $n$ es impar, $n=2m+1$(say) $\implies B=(2m+1)\pi-(A-B)\iff A=(2m+1)\pi$ que es imposible como $0<A<\pi$

Por el contrario, si $A=2B$

$\displaystyle\implies a^2-b^2=4R^2(\sin^2A-\sin^2B)=4R^2\sin C\sin(A-B)$ (usando $(1)$)

$\displaystyle=4R^2\sin C\sin(2B-B)=2R\sin B\cdot 2R\sin C=\cdots$

Answer 3

Fórmula del ángulo doble dice $$\begin{align} \sin(A) &=2\sin(B)\cos(B)\\ &\implies\frac{\sin(A)}{\sin(B)}=2\cos(B)\tag{1} \end {Alinee el} $$ da la fórmula para el seno de una suma $$\begin{align} \sin(C) &=\sin(A+B)\\ &=2\sin(B)\cos(B)\cos(B)+(2\cos^2(B)-1)\sin(B)\\ &=\sin(B)(4\cos^2(B)-1)\\ &\implies\frac{\sin(C)}{\sin(B)}=4\cos^2(B)-1\tag{2} \end {Alinee el} $$ por lo tanto, la ley de senos dice $$ \left(\frac ab\right) ^ 2-1 = \frac cb\implies una ^ 2-b ^ 2 = bc\tag {3} $$