Inverso de la función$f : \mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$

Question

La función de mapeo de Matthew Szudzik es otro enfoque sobre la asignación de$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ a$\mathbb{N}$, sin embargo, tengo problemas para encontrar la inversa de la misma. La función es$$f(a, b)=\left\{\begin{array}{ll}a^2+a+b&\mbox{, if }a\geq b\\a+b^2&\mbox{, else}\end{array}\right.$ $

Afirma que el inverso de ello es$$f^{-1}(c)=\left\{\begin{array}{ll}(c-\lfloor\sqrt{c}\rfloor^2,\lfloor\sqrt{c}\rfloor)&\mbox{, if } c - \lfloor\sqrt{c}\rfloor^2<\lfloor\sqrt{c}\rfloor\\(\lfloor\sqrt{c}\rfloor, c-\lfloor\sqrt{c}\rfloor^2-\lfloor\sqrt{c}\rfloor)&\mbox{, else}\end{array}\right.$ $

Pero, ¿cómo lo encontró?

Answer 1

$f(a,b) = a^2 + a + b=c; a\ge b$

$f(a,b) = a+b^2=c; a< b$.

Para hacer suposiciones salvajes. Si $a' = -b'$ tenemos $f(a',b) = a'^2 = c$ $g(c) = (\sqrt{c}, -\sqrt{c})$ si $c$ es un cuadrado perfecto. Pero, obviamente, $c$ no tiene que ser un cuadrado perfecto. Pero podemos estar cerca.

Supongamos $n^2 \le c < (n+1)^2$ o en otras palabras $n \le \sqrt{c}< n+1$. A continuación,$c = n^2 + n + (c-n^2 - n)$. Si $c-n^2 -n \le n$ tendríamos $f(n,(c-n^2 -n)) = c$. $n^2 < c < (n+1)^2\implies 0< c - n^2<(n+1)^2 -n^2 = (n+1 +n)(n+1 -n) = 2n+1 \implies 0\le c-n^2 < 2n + 1\implies c-n^2-n < n + 1\implies c-n^2 -n \le n$.

Por lo $g(c) = (\lfloor \sqrt{c} \rfloor, c - \lfloor \sqrt{c} \rfloor^2 - \lfloor \sqrt{c} \rfloor)$ va a hacer. Pero esto requiere de $ c - \lfloor \sqrt{c} \rfloor^2 - \lfloor \sqrt{c} \rfloor)\in \mathbb N$. yo.e $ c - \lfloor \sqrt{c} \rfloor^2 > \lfloor \sqrt{c} \rfloor) $

Otros sabios debemos resolver para $f(a,b) = a+b^2=c; a< b$ primera.

Si $n^2 \le c < (n+1)^2$ $f(c-n^2, n) = c$ si $c-n^2 < n$. Como $n^2 \le c < n^2 + 2n+1$ sabemos $0\le c-n^2 < 2n+1$.

Por lo $h(c) = (c - \lfloor \sqrt{c} \rfloor^2 , \lfloor \sqrt{c} \rfloor)$ va a hacer si $c - \lfloor \sqrt{c} \rfloor^2>0$ que sólo falla si $n^2 \le c < n^2 + 1$ . Si este es el caso, a continuación,$c - \lfloor \sqrt{c} \rfloor^2 < 1 \le \lfloor \sqrt{c} \rfloor$.