Sobre el teorema del valor medio

Question

Supongamos que $f''(x)$ existe en el intervalo $(-1,1)$ , $f(0)=f'(0)=0$ y la desigualdad $|f''(x)|\leqslant|f(x)|+|f'(x)|$ se mantiene $(-1,1)$ Cómo demostrar que $f(x)=0$ en $(-\delta,\delta)$ para algunos $\delta>0$ ? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Supongamos que la conclusión falla. Entonces para todo $\delta>0$ existe un punto $x_\delta\in(-\delta,\delta)$ tal que $f(x_\delta)\neq0$ . Así, $$m_1:=\max\{|f(x)|:x\in[-\delta,\delta]\}>0.$$ Definir $$m_2:=\max\{|f'(x)|:x\in[-\delta,\delta]\}\geq0.$$ Entonces $\kappa^2:=m_1+m_2>0$ . (Ambos $f,f'$ son continuos, por lo que podemos usar max en lugar de sup, pero esto no es crucial). Podemos escribir $$|f''(x)|\leq \kappa^2 \quad \hbox{for all}\quad x\in[-\delta,\delta],$$ y así $$ - \kappa^2\leq f''(x)\leq \kappa^2\quad \hbox{for all}\quad x\in[-\delta,\delta].$$

Ahora dejemos que $x\in(0,\delta]$ . Por el teorema del valor medio, hay un punto $c_x\in(0,x)$ tal que $$f''(c_x)=\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\frac{f'(x)}{x}.$$ Así, $$ - \kappa^2 \leq \frac{f'(x)}{x} \leq \kappa^2 \quad \hbox{for all}\quad x\in (0,\delta],$$ para que $$ - \kappa^2x \leq f'(x) \leq \kappa^2 x \quad \hbox{for all}\quad x\in (0,\delta].$$

Integre esta desigualdad (aplicando el teorema fundamental del cálculo) para obtener $$ -\kappa^2\frac{x^2}{2} \leq f(x) \leq \kappa^2\frac{x^2}{2}\quad \hbox{for all}\quad x\in(0,\delta].$$ Ahora repite este proceso, con $-\delta<x<0$ (la integración ha terminado $[x,0]$ ). Combinando los resultados se obtiene $$|f'(x)|\leq \kappa^2|x|, \quad \hbox{for all}\quad x\in [-\delta,\delta],$$ y $$|f(x)|\leq \kappa^2\frac{|x|^2}{2}, \quad \hbox{for all}\quad x\in [-\delta,\delta].$$ Toma un máximo a través de ambas desigualdades y suma los resultados para obtener $$\kappa^2 \leq \kappa^2(\delta +\frac{\delta^2}{2}).$$ Desde $\kappa^2>0$ podemos dividir por este término para obtener la contradicción de que $$1 \leq \delta+\frac{\delta^2}{2}$$ para un tamaño arbitrario de $\delta$ .