Las siguientes no es una respuesta completa. En el siguiente vamos a $f$ ser algún candidato para un contraejemplo.
Primera observación: $f$ no puede ser monótono. Si fuera, digamos, el aumento, entonces tendríamos $$\int_0^x |f'| dx \leq f(x)-f(0)$$ by the Lebesgue decomposition theorem. Similarly $\int_0^x |f'(x)| dx \leq f(0) - f(x)$ if $f$ es decreciente.
Segunda observación: la única manera de que usted podría tener $f' \not \in L^1$ es si no tiene un no-integrable singularidad en $0$, debido a que en otros lugares está limitada por la condición de $2$. Entre la condición $2$ y la no-integrable singularidad requisito, esto significa que se debe difieren sólo ligeramente más lento que o exactamente tan rápido como $1/x$. La combinación de estos dos primeros requisitos también significa que $f$ no puede ser monótono en $[0,\varepsilon]$ cualquier $\varepsilon > 0$.
Tercera observación: la condición de $3$ es redundante a la condición de $1$, y la condición de $4$ es redundante a la condición de $2$. Así que usted puede colocar dichos.
Mi intuición, entonces, es elegir a $f'$, de modo que $|f'(x)|=1/x$ pero $\int_0^x f'(y) dy$ se queda dentro de, digamos, $\pm 1$. Creo que podemos hacer esto mediante la definición de:
$$A_k = \left [e^{-k},e^{k+1} \right ] \\
A = \bigcup_{k=1}^\infty A_{2k-1} \\
B = \bigcup_{k=1}^\infty A_{2k} \\
g'(x) = \frac{\chi_A(x) - \chi_B(x)}{x}$$
Tal y como está, esto no proporciona un contraejemplo; esto satisface la condición $1$, $2$, $3$, y $4$, pero no la condición de $5$, ya que el $|xg''(x)|=1/x \not \in L^2$.
Mi intuición es que ahora precomponer con un cierto singular función, es decir, para definir $f'(x) = g'(s(x))$ donde$s'=0$.e. A continuación, $f''$ sería cero.e. y tendríamos $x f'' \in L^2$. Pero no podemos tener una función con $s'=0$.e. tal que $s(x)$ crece como $x$; todos ellos crecen como $x^\alpha$ algunos $\alpha < 1$. (El Cantor de la función, por ejemplo, crece como $x^{\log_3(2)}$.)
