¿Cuál es la suma de una función de sinc desplazada:
ps
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos utilizar la distribución de Poisson suma fórmula. Definir $f(x) \equiv \sin(\pi x) / (\pi x)$. A continuación, la suma que estamos tratando de resolver es $$g(y) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n-y) \, .$$ La sumación de Poisson fórmula convierte la suma de los valores de $f$ a una suma de los valores de la transformada de Fourier de $f$.
La sumación de Poisson
Tenga en cuenta que $g(y)$ es periódica con período de $1$. La serie de Fourier de los coeficientes de $g$ son por definición \begin{align} g_\nu &= \int_0^1 dy \, g(y)e^{-i 2 \pi \nu y} \\ &= \int_0^1 dy \, \sum_{n=-\infty}^\infty f(n-y) e^{-i 2 \pi \nu y} \\ (\text{Let }x\equiv n-y) \qquad &= \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{n-1}^n dx \, f(x) e^{-i 2 \pi \nu (n-x)} \\ &= \int_{-\infty}^\infty dx \, f(x) e ^{i 2 \pi \nu x} \\ &= \tilde{f}(-\nu) \, . \end{align} donde $\tilde{f}$ es la transformada de Fourier de $f$.
Por definición de la serie de Fourier, \begin{align} g(y) &= \sum_{\nu = -\infty}^\infty e^{i 2 \pi \nu y} g_\nu \\ \text{so} \qquad \sum_{n=-\infty}^\infty f(n-y) &= \sum_{\nu=-\infty}^\infty e^{-i 2 \pi \nu y} \tilde{f}(\nu) \end{align} que es la sumación de Poisson fórmula
Solución al problema
Utilizando la distribución de Poisson suma fórmula, podemos escribir $$g(y) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n-y) = \sum_{\nu=-\infty}^\infty \tilde{f}(\nu) e^{-i 2 \pi \nu y} \, .$$ ¿Qué es $\tilde{f}$? Podemos fácilmente calcular que la transformada de Fourier de la función de tophat $$ T(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \qquad 1/2 < x <1/2 \\ 0, \qquad \text{otherwise} \end{array} \right. $$ es $\tilde{T}(\nu)=\sin(\pi \nu) / (\pi \nu)$. Por la dualidad de la transformada de Fourier, que significa que $\tilde{f}$ es el tophat función de $T$. Por lo tanto, tenemos $$g(y) = \sum_{\nu=-\infty}^\infty T(\nu) e^{-i 2 \pi \nu y} = 1 \, .$$ Este es un resultado notable: no importa cuánto cambie sus puntos de muestra en función de sinc, la suma de estas muestras es constante.
