No puede existir una función racional$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ inyectiva, no sobrejectiva

Question

Yo estaba buscando una función racional $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que se parece a $\arctan$, en lo que se

• inyectiva
• no surjective
• bien definido en todos los $x\in \mathbb{R}$ (no hay asíntotas verticales)

Creo que he demostrado que uno no puede existir.

Mi pensamiento es este: no puede ser un polinomio, debido a una extraña-grado del polinomio es surjective y un grado del polinomio no es inyectiva. Por lo tanto debe haber un trivial denominador. El denominador no puede ser impar el grado del polinomio, o de lo contrario tiene un cero en algún lugar. Si el numerador es un polinomio de grado mayor que el denominador $N>D$, entonces tenemos surjectivity (si $N-D$ es impar), o perdemos de inyectividad (si $N-D$ es incluso). Si $N\leq D$, perdemos la inyectividad, ya que la función de enfoque el mismo límite de $x \to \pm \infty$ (yo reclamo que junto con la continuidad, esto implica que perdemos de inyectividad).

¿Estás de acuerdo? Hay un resultado general sobre este tipo de funciones?

Answer 1

Esto se ve bien para mí, a pesar de los diversos casos podría ser limpiado un poco: el punto clave es que el rango de una inyectiva función continua es el intervalo de tiempo entre dos límites, y que para una función racional $f(x)/g(x)$ los dos límites sólo pueden ser diferentes al $\deg f > \deg g$, en cuyo caso el intervalo es $(- \infty, \infty)$.

Es difícil decir cómo generalizar este resultado: en $\mathbb{C}$, por ejemplo, todos continua de las funciones racionales son polinomios, y todos los inyectiva polinomios son surjective. Más adecuada subinterval de $\mathbb{R}$, usted puede encontrar un inyectiva funciones racionales con los valores que te gusta en las dos fronteras.