La ecuación funcional $f(x+x) = f(x)f(x)$

Question

Consideremos la ecuación funcional exponencial en la diagonal \begin{align} f(x+x) = f(x)f(x)\,, \quad f(0) = 1\,. \end{align}

¿Cuáles son las soluciones para este problema? O bien para todos $x $ o para los no negativos $x $ .

EDITAR: Aparentemente lo siguiente es incorrecto: Supongo que las funciones exponenciales $x \mapsto e^{cx}$  son las únicas soluciones si asumimos mensurabilidad, continuidad o alguna otra propiedad de regularidad.

Answer 1

Su afirmación es falsa. Por ejemplo

$$f(x)= \begin{cases} e^x & x\ge 0 \\ e^{-x} & x<0 \end{cases}$$

satisface la ecuación funcional, es continua y no es una función exponencial.

Answer 2

Resumen: Existe una familia incontablemente infinita de $\mathcal{C}^\infty$ funciones en $(0, +\infty)$ que satisfacen esta ecuación, y estas funciones también son continuas en $x = 0$ si exigimos $f(0) = 1$ . Si además exigimos que la función sea diferenciable en $x = 0$ , $f(x)$ debe ser un exponencial: $f(x) = e^{cx}$ para alguna constante $c$ .

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Dejemos que $g(x): [1,2] \to \mathbb{R}$ sea cualquier función que satisfaga $g(2) = 2g(1)$ . Definir una función $h(x): [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ recursivamente: $$ h(x) = \begin{cases} g(x) & 1 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} h(2x) & 0 < x \leq 1 \\ 2 h(x/2) & x > 2 \\ 0 & x = 0 \end{cases} $$ Por ejemplo, según esta definición $$ h(3) = 2 h(3/2) = 2 g(3/2) $$ y $$ h(3/16) = \frac{1}{2} h(3/8) = \frac{1}{4} h(3/4) = \frac{1}{8} h(3/2) = \frac{1}{8} g(3/2). $$ La gráfica de esta función sería autosimilar:

Por construcción, $h(2x) = 2 h(x)$ para todos $x$ . Pero entonces podemos definir $f(x) = e^{h(x)}$ y por lo tanto $f(2x) = e^{h(2x)} = e^{2 h(x)} = (e^{h(x)})^2 = f(x)^2$ . Además, tenemos $$ \lim_{x \to 0_+} h(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0_+} f(x) = 1 $$ por lo que la función es continua en $x = 0$ .

Si se desea que la función satisfaga alguna condición particular de la derivada, también se puede exigir que $g^{(n)}(1) = 2^{n-1} g^{(n)}(2)$ para todos y cada uno de los valores de $n$ que deseas. En particular, puede elegir $g$ para ser un $\mathcal{C}^{\infty}$ para la que todas las derivadas coinciden en $x = 1$ y $x = 2$ y $f(x)$ será un $\mathcal{C}^{\infty}$ también.

La familia exponencial de funciones que has encontrado corresponde a la elección de $g(x)$ sea una función lineal sobre $[1,2]$ . Una construcción similar puede hacerse para extender $h(x)$ (y por lo tanto $f(x)$ ) también a los números reales negativos; el $g(x)$ elegimos construir $f(x)$ en este dominio no tiene por qué ser la misma función que la que utilizamos para los reales positivos. Respuesta de @mfl corresponde a la toma de $g(x) = x$ para los reales positivos y $g(x) = -x$ para los reales negativos.

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EDITAR: Después de pensarlo mejor, estoy convencido de que aunque $g(x)$ es un $\mathcal{C}^n$ sobre su dominio, la función resultante $h(x)$ no será $\mathcal{C}^n$ en $x = 0$ a menos que $n = 0$ . Esto se puede ver observando que tenemos $$ h^{(n)}(x) = \begin{cases} g^{(n)}(x) & 1 < x \leq 2 \\ 2^{n-1} h^{(n)}(2x) & 0 < x \leq 1 \\ 2^{1-n} h^{(n)}(x/2) & x > 2 \\ 0 & x = 0 \end{cases} $$ Para $n > 1$ , considere la secuencia de valores $x_m = a/2^m$ con $1<a<2$ . Se puede ver que $h^{(n)}(x_m) = 2^{m(n-1)} g^{(n)}(a)$ . Esta secuencia de valores divergirá como $x_m \to 0$ y, por lo tanto, el $n$ derivada de $h$ no puede acercarse a un valor finito como $x \to 0$ . La única excepción es si $g^{(n)}(a) = 0$ para todos $a$ es decir, $g(x)$ es una función lineal. En este caso, el resultado $f(x)$ es un exponencial.

Para $n = 1$ Mientras tanto, $h'(x)$ tomará todos los valores posibles de $g'(x)$ en todo intervalo que contenga el origen; y así $h'(x)$ no puede tener un límite de buen comportamiento como $x \to 0$ o bien. La única excepción es si $g'(x)$ es una constante sobre su dominio, en cuyo caso obtenemos $f(x)$ como una función exponencial también.

Answer 3

Sea $f(x):=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k x^k$ y $a_0:=1$ .

Con $f(2x)=f(x)^2$ sigue $\sum\limits_{v=0}^k a_v a_{k-v}=2^k a_k$ .

Esto significa que $a_1$ puede ser cualquier valor.

Obtenemos la función exponencial $e^{a_1 x}$ . $\enspace$ (como $\pi r8$ y Michael Seifert han mencionado a continuación)

Sugerencia breve : $\enspace\sum\limits_{v=0}^k \frac{(a_1)^v}{v!} \frac{(a_1)^{k-v}}{(k-v)!}=a_1^k\frac{(1+1)^k}{k!}=2^k \frac{(a_1)^k}{k!}$

Esto demuestra que las funciones que pueden ser representadas por series de Taylor, sólo pueden ser exponenciales, si resuelven la afirmación anterior.