Cómo probar que los vectores propios de distintos autovalores son linealmente independientes

Question

¿Cómo puedo probar que si he a $n$ vectores propios de diferentes valores propios, todos ellos son linealmente independientes?

Answer 1

Me voy a hacer con dos vectores. Yo voy a dejar de hacerlo en general.

Supongamos $\mathbf{v}_1$ $\mathbf{v}_2$ corresponden a distintos valores propios $\lambda_1$$\lambda_2$, respectivamente.

Tomar una combinación lineal que es igual a $0$, $\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$. Tenemos que mostrar que $\alpha_1=\alpha_2=0$.

La aplicación de $T$ a ambos lados, obtenemos $$\mathbf{0} = T(\mathbf{0}) = T(\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2) = \alpha_1\lambda_1\mathbf{v}_1 + \alpha_2\lambda_2\mathbf{v}_2.$$ Ahora, en cambio, se multiplica la ecuación original por $\lambda_1$: $$\mathbf{0} = \lambda_1\alpha_1\mathbf{v}_1 + \lambda_1\alpha_2\mathbf{v}_2.$$ Ahora tome las dos ecuaciones, $$\begin{align*} \mathbf{0} &= \alpha_1\lambda_1\mathbf{v}_1 + \alpha_2\lambda_2\mathbf{v}_2\\ \mathbf{0} &= \alpha_1\lambda_1\mathbf{v}_1 + \alpha_2\lambda_1\mathbf{v}_2 \end{align*}$$ y tomando la diferencia, obtenemos: $$\mathbf{0} = 0\mathbf{v}_1 + \alpha_2(\lambda_2-\lambda_1)\mathbf{v}_2 = \alpha_2(\lambda_2-\lambda_1)\mathbf{v}_2.$$

Desde $\lambda_2-\lambda_1\neq 0$, y desde $\mathbf{v}_2\neq\mathbf{0}$ (debido a $\mathbf{v}_2$ es un autovector), a continuación,$\alpha_2=0$. El uso de este en el original combinación lineal $\mathbf{0} = \alpha_1\mathbf{v}_1 + \alpha_2\mathbf{v}_2$, llegamos a la conclusión de que $\alpha_1=0$ (desde $\mathbf{v}_1\neq\mathbf{0}$).

Por lo $\mathbf{v}_1$ $\mathbf{v}_2$ son linealmente independientes.

Ahora intenta el uso de la inducción en $n$ para el caso general.

Answer 2

Alternativa:

Deje $j$ ser la máxima $j$ tal que $v_1,\dots,v_j$ son independientes. Entonces existe $c_i$, $1\leq i\leq j$ de modo que $\sum_{i=1}^j c_iv_i=v_{j+1}$. Pero la aplicación de $T$ también tenemos que

$$\sum_{i=1}^j c_i\lambda_iv_i=\lambda_{j+1}v_{j+1}.$$ Hence $$\sum_{i=1}^j \left(\lambda_i-\lambda_{j+1}\right) c_iv_i=0$$ which is a contradiction since $\lambda_i\neq \lambda_{j+1}$ for $1\leq i\leq j$.

Espero que ayude,

Answer 3

Hey creo que hay una mancha de la manera de hacer esto sin la inducción. Supongamos que $T$ es una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ y $v_1,\ldots,v_n \in V$ son vectores propios de a $T$ con los correspondientes autovalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in F$ ($F$ el campo de escalares). Queremos mostrar que, si $\sum_{i=1}^n c_i v_i = 0$, donde los coeficientes $c_i$$F$, entonces necesariamente cada una de las $c_i$ es cero.

Por simplicidad, solo voy a explicar por qué los $c_1 = 0$. Considere el polinomio $p_1(x) \in F[x]$$p_1(x) = (x-\lambda_2) \cdots (x-\lambda_n)$. Tenga en cuenta que el $x-\lambda_1$ término "falta" aquí. Ahora, desde cada una de las $v_i$ es un autovector de a $T$, tenemos $$\begin{align*} p_1(T) v_i = p_1(\lambda_i) v_i && \text{ where} && p_1(\lambda_i) = \begin{cases} 0 & \text{ if } i \neq 1 \\ p_1(\lambda_1) \neq 0 & \text{ if } i = 1 \end{casos}. \end{align*}$$

Por lo tanto, la aplicación de $p_1(T)$ a la suma de $\sum_{i=1}^n c_i v_i = 0$, obtenemos $$p_1(\lambda_1) c_1 v_1 = 0$$ lo que implica $c_1 = 0$, ya que el $p_1(\lambda_1) \neq 0$$v_1 \neq 0$.