Expresión de la mayor potencia de 2 dividiendo $3^a\left(2b-1\right)-1$

Question

Pregunta: Me pregunto si existe una expresión para la mayor potencia de 2 que divide $3^a\left(2b-1\right)-1$ en términos de $a$ y $b$ o quizás una expresión más general para la mayor potencia de 2 que divide algún par $n$ ?

EDIT: Esto es equivalente a encontrar una expresión para la mayor potencia de 2 dividiendo algún par $n$ Sin embargo, encontrarlo en términos de $a$ y $b$ puede ser más útil para lo que he descrito a continuación.

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Motivación para preguntar:

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La razón de esta pregunta en particular es porque, habiendo echado un vistazo a la conjetura de Collatz, he encontrado que los enteros Impares positivos $n$ de la forma $2^a\cdot\left(2b-1\right)-1$ iterará hasta el valor par de $3^a\cdot\left(2b-1\right)-1$ después de $a$ iteraciones de $\frac{3n-1}{2}$ , siendo luego dividido por la mayor potencia de 2 que lo divide. Como también he encontrado que los números de la forma ${\left(\frac{2}{3}\right)}^c\cdot\left(2^{3^{c-1}\cdot(2d-1)}+1\right)-1$ se convierten en potencias de 2 después de $c$ iteraciones, espero encontrar una expresión para el número de iteraciones para $n$ para convertirse en una potencia de 2, y así alcanzar el bucle 4-2-1.

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Actualizaciones:

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EDITAR 1: He encontrado un post en mathoverflow en https://mathoverflow.net/questions/29828/greatest-power-of-two-dividing-an-integer dando una expresión bastante larga para la mayor potencia de 2 que divide cualquier entero positivo impar $n$ que puede ser útil.

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EDITAR 2: Aquí hay una imagen que muestra patrones que encuentro bastante interesantes. Es de un programa que escribí que muestra el exponente de la mayor potencia de 2 dividiendo cada valor de $3^a\left(2b-1\right)-1$ El gráfico de la tabla 2d se representa con píxeles más claros para los valores más altos y píxeles más oscuros para los valores más bajos. Se traza en una cuadrícula 2d de manera que cada píxel en el eje x representa el $b$ a partir de uno, y lo mismo para $a$ en el eje Y:

Esto parece sugerir que si $a$ y $b$ son ambos Impares o pares, la mayor potencia de 2 dividiendo $3^a\left(2b-1\right)-1$ es 2 (estoy estudiando esto más a fondo).

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EDITAR 3: Definición de $2^{b_s}$ como la mayor potencia de 2 dividiendo $1.5^{a_s}(n_{s}+1)-1$ Sé que cualquier impar $n_s=2^{a_s}(2x_s-1)-1$ alcanzará:

$$n_{s+1}=2^{a_{s+1}}(2x_{s+1}-1)-1=\frac{3^{a_s}(2x_s-1)-1}{2^{b_s}}=\frac{1.5^{a_s}(n_{s}+1)-1}{2^{b_s}}$$

Esto me ha llevado a encontrar una expresión para el $z$ iteración, $T_z(n_1)$ , a partir de unos impar $n_1$ de:

$$T(n_s)=\frac{1.5^{a_s}\left(n_s+1\right)-1}{2^{b_s}}=n_{s+1}$$

La expresión que he encontrado es la siguiente:

$$T_z(n_1)=\frac{1.5^{\sum_{c=2}^{z}a_c}\left(1.5^{a_1}\left(n_1+1\right)-1\right)}{2^{\sum_{d=1}^{z}b_d}}+\frac{1.5^{a_z}-1}{2^{b_z}}+\sum_{e=2}^{z-1}\frac{1.5^{\sum_{f=e+1}^{z}a_f}\left(1.5^{a_e}-1\right)}{2^{\sum_{g=e}^{z}b_g}}$$

Por lo tanto, para que la conjetura de Collatz sea cierta:

$$T_z(n_1)=\frac{1.5^{\sum_{c=2}^{z}a_c}\left(1.5^{a_1}\left(n_1+1\right)-1\right)}{2^{\sum_{d=1}^{z}b_d}}+\frac{1.5^{a_z}-1}{2^{b_z}}+\sum_{e=2}^{z-1}\frac{1.5^{\sum_{f=e+1}^{z}a_f}\left(1.5^{a_e}-1\right)}{2^{\sum_{g=e}^{z}b_g}}=1$$

debe tener una solución única para cualquier impar $n_1$ tal que $\left\{z,a_{1...z},b_{1...z}\in\mathbb{N^+}\right\}$

Esto plantea una cuestión distinta, a saber, qué se puede decir de $a_{s+1}$ y $b_{s+1}$ a partir de los valores de $a_{s}$ y $b_{s}$ ? Si resulta que hay alguna conexión, los valores de $\sum_{i=1}^{z}a_{i}$ y $\sum_{i=1}^{z}b_{i}$ puede expresarse simplemente en términos de $a_1$ y $b_1$ convirtiendo así el problema en una ecuación diofántica. No he estudiado matemáticas más allá de la escuela secundaria, por lo que no estoy seguro de la terminología matemática correcta o notación - por favor, siéntase libre de corregirme).

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EDITAR 4: Como sugiere Gottfried Helms, cuando $3^a\left(2b-1\right)-1$ se escribe como $3^ab-\left(3^a+1\right)$ , la factorización de la mayor potencia de 2 muestra que para $a \equiv b \pmod 2$ , la mayor potencia de 2 que divide $3^a\left(2b-1\right)-1$ es 2, y para $a \equiv 1 \pmod 2$ donde $b \equiv 0 \pmod 4$ o $a \equiv 0 \pmod 2$ donde $b \equiv 3 \pmod 4$ debe ser 4. En otros casos parece que ya no depende de $a$ o $b$ y se convierte en pseudo-aleatorio. Esto ayuda a explicar los patrones encontrados anteriormente, pero no todos.

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Answer 1

Esto es sólo una respuesta al comentario de Daniel, pero demasiado largo para la caja

La leyenda: En lo que sigue me refiero a

• $ \{expression,p \} $ el exponente al que el factor primario $p$ se produce en $expression$
• $[ m : a ]$ es igual a $1$ si $a$ divide $m$ en caso contrario, es igual a $0$

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Por el análisis de la ciclicidad debida al "pequeño Fermat" de los exponentes del factor primario $2$ :

• (1) dado $\qquad \displaystyle \{3^n-1,2\} = 1 + [n:2] + \{n,2\} $

Entonces, en general

• (2) porque $ \qquad \displaystyle 3^n+1 = { 3^{2n}-1 \over 3^n-1} $

lo siguiente

• (3) $ \displaystyle \qquad \qquad \{3^n+1,2\} = \{3^{2n}-1,2\} - \{3^{n}-1,2\} $

Reformulación algebraica de (3) utilizando (1) y (2):

$ \displaystyle \qquad \{3^n+1,2\} \;= \left(1 + [2n:2] + \{2n,2\}\right) - \left(1 + [n:2] + \{n,2\}\right) \\ \qquad \qquad \qquad \quad = \left([2n:2] + \{2n,2\} \right) - \left([n:2] + \{n,2\} \right) \\ \qquad \qquad \qquad \quad = \left(1 + 1+\{n,2\}\right) - \left([n:2] + \{n,2\}\right) \\ \qquad \qquad \qquad \quad = 2 - [n:2] $

Resultado:

• (4) $ \displaystyle \qquad \implies \{3^n+1 ,2 \} = 2 - [n:2] $

lo que concuerda con su formulación en su comentario.

Answer 2

Después de sustituir los números enteros por $a$ y $b$ En el año 2000, me encontré con un patrón que reconocí en mi investigación personal sobre la Conjetura de Collatz. Aunque no puedo garantizar o probar que este patrón es consistente, este patrón puede señalar el camino hacia una mejor explicación o responder a algunas de sus preguntas.

Los patrones que encontré hacen referencia a esta secuencia: 0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,.... or $A007814$ en la OEIS. Este patrón se encontró registrando el número de veces que se puede dividir cada entero del conjunto de números naturales por 2. Este patrón aparece en las secuencias de Hailstone para 3x+1 como resultado de la "si n es par, divide n entre 2" regla.

Utilicé un método informal de "fuerza bruta" y recogí algunos datos de algunas combinaciones para $a$ y $b$ en la fórmula $3^a(2b-1)-1$ y luego registró cuántas veces se puede dividir 2 en el resultado. Registré mis resultados en este documento de Google.

Los patrones revelan por qué el uso de un impar $b$ y un impar $a$ (o incluso $a$ y $b$ ) producen un resultado sólo divisible por 2 una vez: los valores se alinean ya que la probabilidad de que un número sea divisible por 2 es aproximadamente del 50% y para cada valor de $a$ los valores parecen alternarse, según mis resultados. En cuanto a la primera pregunta, este patrón se construye sobre sí mismo infinitamente, por lo que supuestamente hay un número infinito de posibles combinaciones de variables para obtener el valor máximo de $n$ . En cuanto a simplificar esto en una expresión de algún tipo, no sé cómo hacerlo ni por dónde empezar. Mientras que los patrones parecen tener una cierta regularidad, las variables pueden variar los patrones bastante, tanto un aparentemente al azar $2^9$ pueden ser arrojados sin razón aparente.

Desgraciadamente, no soy matemático y no tengo la formación adecuada para saber si he dicho una obviedad o no, o si sirvo para responder a tus otras preguntas. Lo siento si esta respuesta no es útil, esto es lo que he encontrado y lo que entiendo.

Cuando publiqué esto, sólo subí a $a = 4$ Si es necesario, añadiré más datos para aumentar el tamaño de la muestra.