Mientras esperaba mi döner en el almuerzo el otro día, me di cuenta de mi número de pedido se $343 = 7^3$ (seguramente no el total para ese día), que me recordó cómo $3^5 = 243$, por lo que el $$7^3 = 3^5 + 100 = 3^5 + 10^2.$$ Naturalmente, empecé a preguntarme acerca de trivial entero soluciones a $$x^5 + y^2 = z^3 \tag{*}$$ ("no trivial", que significa $xyz \ne 0$). Yo no hice mucho progreso, aunque aparentemente hay infinitamente muchas soluciones: este era el Problema 1 en el 1991 Canadiense de la Olimpiada Matemática. El oficial de soluciones (en la parte inferior de esta página) sólo se remontan a 1994. Un hoteles de respuesta es dada por tomar $x = 2^{2k}$$y = 2^{5k}$, de modo que el l.h.s. es $2^{10k + 1}$. Este es un cubo iff $10k + 1 \equiv 0 \,(3)$ es decir $k \equiv 2\,(3)$, dando así una progresión aritmética de la pena de soluciones, comenzando con $$(x, y, z) = (16, 1024, 128)$$ corresponding to $k = 2$ y $$(x, y, z) = (1024, 33554432, 131072)$$ viniendo de $k = 5$.
Lo que más se sabe acerca de la ecuación de $(*)$? En particular, hay una infinidad de soluciones con $x$, $y$, $z$ relativamente primos? El uno que llamó mi atención fue la $(x, y, z) = (3, 10, 7)$. Otra es $(-1, 3, 2)$ porque $-1 + 9 = 8$. Por catalán de la conjetura (ahora un teorema), esta es la única solución con $x = \pm 1$ o $y = \pm 1$ o $z = 1$. Existen soluciones con $z = -1$? En este caso, $(*)$ reduce a $x^5 + y^2 = -1$ y Mihăilescu del teorema no se aplica.
La actualización. Esta pregunta fue esencialmente preguntado ya aquí, ya que la ecuación de $a^2 + b^3 = c^5$ es equivalente a $(-c)^5 + a^2 = (-b)^3$.
