Nos gustaría decir:
Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una noción de convergencia relativos a las secuencias en el $X$ con puntos de $X$. Dada una secuencia $x$ y un punto de $y$, podemos preguntar si o no $x$ converge a $y$, y ciertos axiomas tienen respecto a esta relación.
Un espacio topológico es llamado Hausdorff iff cada secuencia converge a un máximo de un punto.
Una función de $f : A \rightarrow B$ entre espacios topológicos es continua iff para todas las secuencias de $x$ $A$ y todos los puntos de $y \in A$, tenemos que si $x$ converge a$y$$A$, $f(x)$ converge a$f(y)$$B$.
Por desgracia, esto es completamente erróneo. Para empezar, no siempre se puede recuperar la topología sólo de saber qué secuencias convergen los puntos. Aunque a veces puede; estos son los llamados secuenciales de espacios topológicos. Pero en general, lo que tu convergente secuencia/punto de pares no es suficiente para determinar la topología, y tenemos que pasar a la "generalizada secuencias"; el término técnico es neto. Por lo tanto, queremos decir:
Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una noción de convergencia relativos redes en $X$ con puntos de $X$. Dada una red $x$ y un punto de $y$, podemos preguntar si o no $x$ converge a $y$, y ciertos axiomas tienen respecto a esta relación.
Un espacio topológico es llamado Hausdorff iff cada red converge a un máximo de un punto.
Una función de $f : A \rightarrow B$ entre espacios topológicos es continua iff para todas las redes de $x$ $A$ y todos los puntos de $y \in A$, tenemos que si $x$ converge a$y$$A$, $f(x)$ converge a$f(y)$$B$.
Esto todavía no acaba de funcionar, porque el "set" de todas las redes en espacios topológicos resulta ser demasiado grande para formar un conjunto; sólo que forman una clase. Esto crea algunos problemas técnicos que nos gustaría hacer sin. La habitual solución va así:
- Dado un conjunto $X$, hay una noción de filtro en un conjunto.
- Cada red se corresponde con algo que se llama su "eventualidad fiter."
- Podemos decidir si es o no una red $x$ converge a un punto de $y$ tan sólo de conocer la eventualidad de filtro de $x$.
- Por lo tanto, en lugar de dotar a las $X$ con datos respecto de los cuales net/punto de pares son convergentes, la solución habitual es equipar a $X$ con datos respecto de los cuales filtro/punto de pares son convergentes, y el tratamiento de la convergencia de redes como un derivado de la noción.
Por lo tanto, nuestra definición se convierte en:
Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una noción de convergencia relativos filtros en $X$ con puntos de $X$. Dado un filtro de $x$ y un punto de $y$, podemos preguntar si o no $x$ converge a $y$, y ciertos axiomas tienen respecto a esta relación.
Un espacio topológico es llamado Hausdorff iff cada filtro converge a un máximo de un punto.
Una función de $f : A \rightarrow B$ entre espacios topológicos es continua iff para todos los filtros de $x$ $A$ y todos los puntos de $y \in A$, tenemos que si $x$ converge a$y$$A$, $f(x)$ converge a$f(y)$$B$.
Todavía hay un problema sutil. Si intenta axiomatize espacios topológicos a través del filtro de convergencia, usted termina con una forma mucho más general de la noción llamado un espacio de convergencia. La convergencia de los espacios están muy bien, y personalmente me gustaría que la gente empiece a considerarlos como objetos básicos de interés en la topología general, y el tratamiento de espacios topológicos como un mero caso especial. Por desgracia, no he sido capaz de encontrar un elemental introducción a cosas que me puede vincular a, por lo que tendrá que aprender las cosas de la manera clásica hasta que estés listo para ir por su cuenta.
