Que $\xi$ ser un spinor. Si $(\theta ,\phi)$ es los parámetros de rotación y pura transformación de Lorentz, entonces ¿cómo podemos probar la regla de transformación para $\xi$ puede ser escrita como %#% $ $$\xi ~\rightarrow~ \exp\left(\ i \frac{\bf{\sigma}}{2}\cdot \theta +\frac{\bf{\sigma}}{2} \cdot \phi\right) \xi,$ #% ¿dónde están las matrices de Pauli?
Respuestas
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Usted puede escribir una transformación infinitesimal, con generador de $J$, como $$ R(\delta\theta) = 1 + iJ\delta\theta $$ De un número finito de transformación es una sucesión de $N\to\infty$ infinitesimal transformaciones, $$ R(\theta) = (1 + iJ\theta/N)^N = e^{iJ\theta} $$
Las rotaciones $O(3)$ son isomorfos a $SU(2)$, con generadores $J = \sigma/2$. La transformación de Lorentz son similares a las rotaciones, pero con funciones hiperbólicas en lugar de las funciones trigonométricas;$\sinh=\gamma\beta$$\cosh\phi=\gamma$, debido a los aumentos de satisfacer $\gamma^2-\gamma^2\beta^2=1$. Usted puede encontrar que la de Lorentz generadores $K = \pm i\sigma/2$.
Poner esto juntos, por la negativa de la solución, encontrar $$ R(\theta, \phi) =\exp\left(\ i \frac{\bf{\sigma}}{2}\cdot \theta +\frac{\bf{\sigma}}{2} \cdot \phi\right) $$ Este es el diestro $(1/2,0)$ solución. (La alternativa de solución positiva es el zurdo $(0,1/2)$ solución).
Oliver Giesen
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Le está dando la transformación de lorentz de un spinor de Weyl para zurdos. Una muy detallada derivación de esas fórmulas se da por ejemplo en [1].
En definitiva la aparición de las dos matrices de pauli surge del hecho de que el % de la álgebra de mentira $\mathfrak{so(3,1)}$del grupo de lorentz es igual a $\mathfrak{su(2)\times\mathfrak{su(2)}}$. Por lo que las rotaciones son generadas por $\mathfrak{su(2)}$, así como el impulso (sin embargo tenga en cuenta el factor extra $i$).
[1] Maggiore, Michele una introducción moderna a la cuántica teoría de campo, 2005
