¿Cuál es el campo $\mathbb{Q}(\pi)$?

Question

Tengo una sección de comprensión difícil 29,30,31 de Fraleigh.

En ejemplo 29.16, ¿cuál es el campo $\mathbb{Q}(\pi)$? ¿y por qué es isomorfa a la $\mathbb{Q}(x)$ del campo de funciones racionales sobre $\mathbb{Q}$?

(Según la definición, el campo $\mathbb{Q}(\pi)$ es el subcampo más pequeño de $E$ (campo de extensión de contener $\mathbb{Q}$) $\mathbb{Q}$ y $\pi$.)

¡Gracias!

Answer 1

Definir un anillo homomorphism $f\colon \mathbb{Q}[x]\to\mathbb{R}$ por $$f(p)=p(\pi)$$ de modo que (por ejemplo) $$f(\tfrac{1}{3})=\tfrac{1}{3},\quad f(x)=\pi,\quad f(2x^2+5)=2\pi^2+5,$$ y así sucesivamente. La imagen de un anillo homomorphism es un sub-anillo de la codominio; en el caso particular de este anillo homomorphism $f$, la imagen que se da el nombre de $\mathbb{Q}[\pi]$. Es el "más pequeño" sub-anillo de $\mathbb{R}$ que contiene $\mathbb{Q}$$\pi$.

¿Cuál es el núcleo de este homomorphism $f$? Es decir, lo que los polinomios $p\in\mathbb{Q}[x]$ ha $\pi$ como una raíz? La respuesta es ninguno (aparte de los obvios $p=0$). Esto es lo que significa para $\pi$ a ser trascendental (en 1882, Lindemann demostró que $\pi$ es trascendental). El primer teorema de isomorfismo de anillos de ahora nos dice que $$\mathbb{Q}[x]/(\ker f)\cong \mathbb{Q}[\pi]$$ pero dado que el núcleo de $f$ es trivial, esta declaración dice que $\mathbb{Q}[x]\cong \mathbb{Q}[\pi]$. En otras palabras, vemos que el $f$ es un anillo de isomorfismo de$\mathbb{Q}[x]$$\mathbb{Q}[\pi]$.

Ahora vea si usted puede probar general es el siguiente hecho: si dos enteros dominios $D_1$ $D_2$ son isomorfos, entonces sus respectivos campos de fracciones $\mathrm{Frac}(D_1)$ $\mathrm{Frac}(D_2)$ también son isomorfos.

Answer 2

Este es el menor subcuerpo de $\mathbb{C}$ que contiene tanto $\pi$$\mathbb{Q}$. Se puede demostrar que es precisamente

$$\left\{\frac{p(\pi)}{q(\pi)}:\frac{p(T)}{q(T)}\in\mathbb{Q}(T)\right\}$$

Ahora, ¿por qué es isomorfo a $\mathbb{Q}(T)$?

Bueno, piensa en los más pequeños sub-anillo de $\mathbb{C}$ contiene $\mathbb{Q}$$\pi$. Esto es sólo $\mathbb{Q}[\pi]$ (polinomios en $\pi$). Usted, evidentemente, obtener un $\mathbb{Q}$-álgebra de mapa de $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}[\pi]$ definido por $f(T)\mapsto f(\pi)$ (usted puede verificar esto directamente, o utilizar el hecho general de que el polinomio anillos son gratis conmutativa $\mathbb{Q}$-álgebras). Ahora, desde la $\pi$ es trancendental (no satisfacen cualquier polinomio sobre $\mathbb{Q}$), este mapa es inyectiva, y por lo que usted puede levantar esto un mapa de $\mathbb{Q}(T)\to\mathbb{Q}(\pi)=\text{Frac}(\mathbb{Q}[\pi])$ en la forma obvia. Por definición de $\mathbb{Q}(\pi)$ (explícita), este es un surjective $\mathbb{Q}$-álgebra de mapas. Pero, puesto que el $\mathbb{Q}(T)$ es un campo, debe ser realmente un isomorfismo.

Answer 3

Denotando por $\,x\,$ cualquier variable (o elemento desconocido o trascendental sobre $\,\Bbb Q\,$), definen el mapa

$$\phi:\Bbb Q(x)\to\Bbb Q(\pi)\;,\;\;\phi(f(x)):=f(\pi)$$

Ahora demostrar lo anterior es un homomorfismo de anillo biyectiva...