Probabilidad de paseo aleatorio volver a 0

Question

Dado simétrico 1-dimensional aleatorio encuentra a partir de las 0--¿cuál es la probabilidad de que el paseo volviendo $k$ veces a 0 después de pasos de $2N$?

Sé que el número total de caminos que puede tomar es $2^{2N}$. Mi problema es encontrar el número total de caminos volver a 0. También, puesto que usted sólo puede devolver incluso $k$, no. de puntos posibles golpes es $ {{N}\choose{k}}. $

Answer 1

Deje $T$ denotar la primera hora de regreso a $0$. La generación de la función $E_0(s^T)$ $T$ para el paseo aleatorio de partida en $0$ es tal que $$E_0(s^T)=sE_1(s^T),$$ where $E_1(s^T)$ is the generating function of $T$ for the random walk starting at $1$. By the same first-step argument, $$E_1(s^T)=\frac12s(1+E_2(s^T)),$$ where $E_2(s^T)$ is the generating function of $T$ for the random walk starting at $2$. By the Markov property, $$E_2(s^T)=E_1(s^T)^2.$$ Solving this system in $E_0(s^T)$, $E_1(s^T)$ and $E_2(s^T)$ yields $$E_0(s^T)=1-\sqrt{1-s^2}.$$ Thus, the generating function of the $k$th return to $0$ starting from $0$ is $$E_0(s^T)^k=\left(1-\sqrt{1-s^2}\right)^k.$$ Estas funciones tienen la serie de expansiones en potencias de $s^2$. La probabilidad de que el $k$th regresar a $0$ se produce después de exactamente $2N$ pasos es el coeficiente de $s^{2N}$$E_0(s^T)^k$, es decir, $$ (-1)^N\sum_{i=1}^k(-1)^i{k\elegir i}{e/2\elegir N}. $$