Considerar un esquema separado, reducido $X$ de tipo finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $\Bbbk$. Sea $X=X_1\cup\cdots X_r$ sus componentes irreducibles, cada una de ellas es entonces una gran variedad. Asumir que $P\in X_i \cap X_j$ $i\ne j$. Entonces, me pregunto cuando $X$ es singular en $P$ - esto es siempre el caso o hacer que necesito algunas hipótesis adicionales. ¿También, puedo debilitar las hipótesis en $X$?
Respuestas
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Para cualquier Noetherian esquema de $X$ si $P$ es un nonsingular punto de $X$, entonces el anillo local en $P$ es UFD. En particular es un dominio (que no es del todo trivial probar!). Pero donde los dos componentes irreducibles de cruzar el anillo local no será un dominio, a medida que se tienen más que como mínimo el primer ideal.
Tal vez usted ni siquiera necesita Noetherian: supongo que si el anillo local en $P$ no es Noetherian entonces, por definición, el punto no puede ser nonsingular. Pero por alguna razón me siento incómodo, llamándolo un "punto singular": simplemente parece que está fuera de los límites del singular / nonsingular dicotomía.
Nir
Puntos
136
El problema es local en $P$, por lo que es suficiente para estudiar el anillo local $R=\mathcal O_{X,P}$ de su esquema en $P$. La irreductible componentes que pasa a través de $P$ corresponden a la mínima de los números primos de $R$. Si $R$ es regular es un dominio: esto no es trivial y es demostrado por ejemplo en Matsumura, el Anillo Conmutativo teoría, teorema 14.3, página 106 . Por lo $R$ cero, como único mínima prime ideal y su esquema es localmente irreducible $P$.
Comentarios
1) Si $R$ no se reduce definitivamente no será regular, de modo que puede suponer su esquema es reducido.
2) Que $X$ $k$- esquema para algunas campo $k$ es irrelevante.Usted debe asumir que $X$ es localmente noetherian, por lo que el $R$ es un noetherian anillo local (otra cosa que la noción de regular no tiene mucho sentido).
