Que $A$ $R$ ser anillos y $f : A → R$ un homomorfismo del anillo.

Question

Deje $A$ $R$ anillos y $f : A → R$ un anillo homomorphism.

1. Dar un ejemplo concreto de $A, R$ y un anillo homomorphism $f : A → R$ tal que $A$ es conmutativa y $R$ no es conmutativa.

2. Probar que si $A$ es conmutativa y $f$ es surjective, a continuación, $R$ es conmutativa.

Aquí está mi pensamiento al azar:

1. No estoy seguro(aunque matrices de contar)

2. Boceto: Ya, $A$ es conmutativa, $ab = ba$, para algunas de las $a,b \in A$. Y, desde $f$ es un anillo homomorphism, $f(ab) = f(a)f(b)$$f(a) = x$$f(b) = y$, para algunas de las $x,y \in R$, ya que el $f$ es surjective. A continuación, $f(ab) = f(a)f(b) = f(b)f(a) = f(ba)$...Puesto que a es conmutativa. Por lo tanto, $f(a)f(b)= xy = f(b)f(a) = yx.$, En particular, $xy = yx$ algunos $x,y \in R$ ¿ esto tiene sentido? Por favor me corrija si estoy equivocado.

Answer 1

Para el primer elemento, lo has dicho tú mismo: matrices. Prueba $$f: (\Bbb R \setminus \{0\}, \cdot) \to ({\rm Mat}(2 \times 2, \Bbb R),\cdot) \quad \text{given by}\quad f(a) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix}.$ $ para el segundo tema, su idea está en el camino correcto, vamos a reformularlo: tomar $x,y \in R$. Queremos demostrar que $xy=yx$. $f$ Es sobreyectiva, tenemos $a,b \in A$ tal que $f(a)=x$ y $f(b) = y$. Esta forma: $$xy = f(a)f(b) = f(ab) = f(ba)=f(b)f(a)=yx.$ $