Quiero encontrar para que enteros positivos n, la instrucción $11n+17 \leq 2^n$ es cierto.
Quiero demostrar que esto es cierto con la inducción. El problema que veo aquí, es que para probarlo, necesito encontrar P(1), que $11+17\leq2$, lo cual es falso.
Inducción trabaja con cualquier punto de partida, no es necesario iniciar $n=1$. Si demuestran que vale para una declaración $P(n)$ $n=k$, y que $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ para cualquier número entero $n$, a continuación, han demostrado ser $P(n)$ para ser verdad para todos números enteros $n\geq k$. Así que encuentra el primer valor de $n$ de que $11n+17\leq 2^n$ y comenzar desde allí.
Supongamos que queremos demostrar por inducción que para todo $n$ propiedad $P(n)$ mantiene.
Sin embargo, la propiedad de falla para todos los $n<k$ fijos $k$, y de $n\ge k$ la posee propiedad.
Usted puede probar por inducción como de costumbre que $P(n+k)$ tiene para todos los $n\in\mathbb N$ lugar.
Como Zev dice, esto es sólo para probar la inducción es la verdad de algún número en adelante. El resto de los números se puede comprobar con la mano, por equipo (cuando sea posible) o mostrar que la afirmación no es cierta en general para $n<k$.
En su caso, $P(n)$$11n+17\le 2^n$, y es falso para $n<7$ pero $P(n+7)$ es cierto para todos los $n$.
(Nota: estoy asumiendo $0$ es un número natural)
Apéndice a: Un pequeño esqueleto para demostrar que $P(n+7)$ tiene para todos los $n$
Yo creo que en este problema es interesante hacer la inducción de primer paso. Ahora es cierto que esto no está siguiendo el estándar de la mayoría de la receta para la inducción de las pruebas, y sin duda tenemos que analizar la base de los casos en algún momento, pero hacerlo de esta manera responder a una importante implícita la pregunta: ¿cómo sabemos que hay algunos $N$ tal que para todos los $n \geq N$ tenemos $11n + 17 \leq 2^n$? (Bien, debemos saber que esta de cálculo, pero ¿cómo podemos ver en este marco?)
Para un entero positivo $N$, vamos a $P(N)$ ser la afirmación de $11N + 17 \leq 2^N$.
Paso 1 (Inducción de Paso): Supongamos que $P(N)$ mantiene para algunos $N$. Ahora tratamos de demostrar $P(N+1): 11(N+1) + 17 \leq 2^{N+1}$.
Nota:$2^{N+1} = 2 \cdot 2^N = 2^N + 2^N \geq 2^N + 11N + 17$;
la última desigualdad utiliza nuestra hipótesis de inducción $P(N)$. Desde $11(N+1) + 17 = (11N+17) + 11$, tendremos $2^N + 11N + 17 \geq 11(N+1) + 17$ mientras $2^N \geq 11$. A su vez, esta desigualdad se cumple para todos los $N \geq 4$, por lo que si $N \geq 4$
$2^{N+1} \geq 2^N + 2^N \geq 11 + (11N + 17) = 11(N+1) + 17$.
¿Qué hemos demostrado? Este:
Si si por alguna $N_0 \geq 4$ tenemos $11N_0 + 17 \leq 2^{N_0}$, entonces para todos los $n \geq N_0$ tenemos $11n + 17 \leq 2^n$.
Paso 2 (Base de los Casos): la comprobación de los pequeños números enteros positivos $n$ uno encuentra que las $11n + 7 > 2^n$ $1 \leq n \leq 6$ pero $11 \cdot 7 + 7 = 84 < 128 = 2^7$.
Conclusión: Para un entero positivo $n$, $11n + 7 \leq 2^n$ iff $n \geq 7$.
Un comentario: lo que no es plenamente como sobre algunas de las otras respuestas es la parte en la que dijo: tratando de mantener los valores de $n$ hasta encontrar uno en el que la desigualdad se mantiene, entonces demostrar por inducción que tiene para todos los mayores valores de $n$. Sucede que este tiene aquí, pero no necesita tener para otros problemas similares. De hecho, comparar esto con la Proposición 6 en estas notas (en la inducción, a partir de un segundo nivel de clase sobre técnicas de prueba) en el que uno está mirando a la desigualdad en la $2^n \geq n^3$ sobre los números naturales. Esto es para $n = 0,1$, se producirá un error de $n = 2$ a través de $9$, luego agarra de nuevo para todos los enteros $n \geq 10$. Por otro lado, el análisis mediante la inducción de paso demuestra que si la desigualdad se cumple para cualquier $n \geq 4$ entonces se cumple para todos los valores mayores de $n$. En este problema, así que sería más eficiente para hacer la inducción paso primero: de otra manera habría que buscar en varios casos individuales para crear un clima de confianza que uno tiene el correcto valor mínimo $N_0$ de manera tal que la desigualdad se cumple para todos los $n \geq N_0$. (Confieso que a pesar de que en mi valoración crítica de este problema no hago el paso de inducción de primera. Yo quería seguir con la receta estándar tanto como sea posible.)
No se pide demostrar que la desigualdad se cumple de$n=1$.
Lo que me gustaría hacer es engañar a todo hasta que encontré un $n$ para que la desigualdad de las obras, y de tal manera que la desigualdad no funciona en $n-1$.
Jugando un poco, usted encontrará que la desigualdad de obras en $n=7$, pero no a $n=6$.
Ahora la inducción argumento es el siguiente:
$1$. Compruebe que la desigualdad se cumple en $n=7$. Ya lo han hecho.
$2$. Demostrar que para cualquier $n \ge 7$, si la desigualdad se cumple en $n$ que sostiene en $n+1$.
Juntos, estos dos pasos muestran que la desigualdad se cumple para todos los $n \ge 7$.
Por último, es posible que desee comprobar si para algunos $n$ menor que $7$, la desigualdad se cumple "por accidente". Por ejemplo, mirar a $36n-35$. Esto es$< 2^n$$n=1$, la mayor por un tiempo, luego permanentemente menos.
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